floating points浮点数详解

浮点数构成与储存
- 浮点数构成
- 浮点数的储存（以单精度为例）
特殊的浮点数：区别Nan\Float\Infinity\denorm(以单精度为例)
- 1.表示0
- - 表示方法
- 2.表示+-∞
- - ∞的意义
  - 表示方法
- 3.表示floating point浮点数
- - 表示方法
- 4.表示denorm非规格化数
- - denorm的含义
  - 表示方法
- 5.表示NaN（Not a Number）
- - 表示方法
  - NaN的作用

浮点数构成与储存

浮点数构成

浮点数又称floating point。为什么称浮点数呢？因为小数点是可以根据位数的不同而浮动的！
在说表达形式之前，请大家回忆一下科学计数法，eg. 1.2∗1021.2*10^21.2∗102.
同样，浮点数的表示就是二进制下的科学计数法表示：+1.xxx...x∗2yyy...y+1.xxx...x*2^{yyy...y}+1.xxx...x∗2yyy...y

浮点数的储存（以单精度为例）

根据以上的浮点数的二进制科学计数法表示，我们可以根据表达式组成结构将表达式分成不同的部分：
符号/s/sign: 表示正负
指数/e/exponent:表示指数位大小
小数位/significand:表示小数部分
在单精度下，
符号s占1bit
指数exponent占8bits
小数位significand占23bits

需要注意一点：
我们前面的二进制科学计数法表示是能包含巨大的范围，但是不能包含0！
所以，我们需要留出空间来表示0，在IEEE754标准下，我们把exponent=0&significand=0的位（0/1 00000000 0000000000000000000000）用来表示0。因为+0和-0相同，所以有两个0（i.e.两个数字表示0）！

同时，考虑到需要表示正负两种位数，在IEEE754中用到了Bias Notation偏置表示：将指数exponent的值-偏置量126，即可表示 ±126的指数了。

可能有小伙伴会问：为什么不减去127呢？因为我们 留了一位用来表示0，所以对剩下的7位bit进行操作即可。

那么恭喜大家，得到了浮点数实际（偏置化后）表达式：

特殊的浮点数：区别Nan\Float\Infinity\denorm(以单精度为例)

以上是浮点数的一般式，那么对于一些特殊的数：我们该如何储存/表达呢？
首先，把答案告诉大家！
下面是一张分别以指数Exponent和小数部分significand分类的数字图表和一张数轴形式的表示。

1.表示0

表示方法

如前文，我们把exponent=0，significand=0的数用来表示0。

2.表示±∞

∞的意义

当我们需要求最大值/最小值时，通常我们会定义一个变量用于比较，不妨令为MAX，那么MAX的初值自然就希望越小越好，这时 -∞就有了用武之地。

表示方法

IEEE754中，自然地令exponent=255, significand=0为 ±∞，正负体现在sign位的0/1：0为＋，1为负。

3.表示floating point浮点数

表示方法

0和±∞的表示用掉了exponent=0和255的值，所以剩下的exponent就用来表示floating point,即把exponent=1~254，significand = anything用来表示浮点数floating point。

是不是觉得好像0和±∞的表示有些浪费空间：只限定了exponent=0/255，那其他的2232^{23}223个数位（significand）用来干嘛呢？
那么下面有意思的来了！！！

4.表示denorm非规格化数

denorm的含义

normalize是标准化，denorm就是去标准化的意思。
为什么要去标准化呢？因为之前的二进制科学计数法就是一种标准化，标准化后出现了问题！以1开头的标准化能表示的最小数a是:a=1.000...000∗2−126a=2−126a=1.000...000*2^{-126}\\a=2^{-126}a=1.000...000∗2−126a=2−126
第二小的数b是：
b=1.000...001∗2−126b=(1+2−23)∗2−126=2−126+2−149b=1.000...001*2^{-126}\\b=(1+2^{-23})*2^{-126}\\=2^{-126}+2^{-149}b=1.000...001∗2−126b=(1+2−23)∗2−126=2−126+2−149

这张图就形象地表示了这个问题：在0~a之间有一段距离，floating point 无法表示！
怎么办？记不记得我们还有空余空间啊！那就用这些空间来表示这些用标准化/normalized的floating point无法表示的数，所以我们把这些数称之为denorm！

同时，注意到我们还剩2232^{23}223个数没有使用，这些正好可以填满 (-a,0)和(0,a) 之间的空隙。

不仅如此，这些denorm之间的间隔也是a/223=2−149a/2^{23}=2^{-149}a/223=2−149,和exponent=1时floating point的间距相同！

表示方法

把exponent=0，significand = nonzero/非零用来表示浮点数非规格化数denorm。

5.表示NaN（Not a Number）

表示方法

把exponent=255，significand = nonzero/非零用来表示浮点数非规格化数NaN。

NaN的作用

在编程中，可能会出现0/0,sqrt(-9) 这些错误，那我们怎么储存这个错误 对应的信息、错误在程序中出现的位置、错误出现在编译的哪个环节…等信息呢？智慧的floating point设计者Khan就把这些信息储存在NaN中，方便编译器为我们报错、debug。

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