二进制+位操作总结

扒了几篇博文，都是一些不符合需求的，对于一个数学渣渣来说，说的太简洁是会要命的，自己总结一下我碰到过的二进制。

参考资料：https://jingyan.baidu.com/article/1612d5008ff5b7e20f1eee4c.html

位运算（位运算符用来对二进制位进行操作）

算术位运算：

<1> 与：（and / &）；< 2> 或：（or / | ）； <3> 非：（ not / ~ ） <4> 异或：( xor )

移位运算：

<1> 算术左移： <<

<2> 算术右移： >>

用法及实例：

指定两个数 A = 60（0011 1100）; B = 13 （0000 1101）

按位与（&）

对两个数进行操作，然后返回一个新的数，这个数的每个位都需要两个输入数的同一位都为1时才为1，如下图：

(A & B) 结果为 12, 二进制为 0000 1100
按位或（|）

比较两个数，然后返回一个新的数，这个数的每一位设置1的条件是两个输入数的同一位都不为0(即任意一个为1，或都为1)，如下图：

(A | B) 结果为 61, 二进制为 0011 1101
按位异或（^）

比较两个数，然后返回一个数，这个数的每个位设为1的条件是两个输入数的同一位不同，如果相同就设为0，如下图：

(A ^ B) 结果为 49, 二进制为 0011 0001
按位取反（~）

对一个操作数的每一位都取反，如下图：

(~A ) 结果为 -61, 二进制为 1100 0011
按位左移（<<）

将操作数的所有位向左移动指定的位数。

下图展示了11111111 << 1（11111111 左移一位）的结果。蓝色数字表示被移动位，灰色表示被丢弃位，空位用橙色的0填充。

（A << 2）结果为 240, 二进制为 1111 0000
按位右移（<<）

将操作数的所有位向又移动指定的位数。

下图展示了11111111 >> 1（11111111 右移一位）的结果。蓝色数字表示被移动位，灰色表示被丢弃位，空位用橙色的0填充。

A >> 2 结果为 15, 二进制为 0000 1111

带有二进制算法的程序

1》求 m^n mod k =?

#include<stdio.h>
using namespace std;
int m,n,k;
int main(){scanf("%d%d%d",&m,&n,&k);int ans=1;for(;n;n>>=1,m=(long long)m*m%k)if(n&1)ans=(long long) ans*m%k;printf("%d\n",ans);return 0;
}

关于这个小程序的详解：https://blog.csdn.net/sodacoco/article/details/81587705

2》辗转相除法的二进制算法

1--原来的gcd算法代码

int GCD(int x,int y){return y==0?x:GCD(y,a%b);
}

2--二进制改进后的gcd算法

原理：（原理大部分都是对的，看不懂就再看，想不通就拿数字验证，强势理解它的存在，--来自一个数渣儿的蒟蒻经验）

如果想进一步提高GCD的效率，可以通过不断去除因子2来降低常数，这就是所谓的“二进制算法”。

具体实现：

若x=y,则GCD(x,y)=x，否则：

A，若 x,y 均为偶数 , 则GCD(x,y)=GCD(x/2 , y/2 ) ;

B，若x为偶数，y为奇数 , 则GCD(x,y)=GCD(x/2 , y) ;

C，若x为奇数，y为偶数 , 则GCD(x,y)=GCD(x , y/2) ;

D，若 x,y 均为奇数 , 则GCD(x,y)=GCD(x-y, y) ;

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
inline int GCD(int x,int y){int i,j;if(x==0)return y;if(y==0)return x;for(j=0;0==(x&1);++i) x>>=1;    //去掉所以的2for(j=0;0==(y&1);++j) y>>=1;    //去掉所有的2if(j<i) i=j;while(1){if(x<y) x^=y,y^=x,x^=y;     //若x<y交换x,yif(0==(x-=y)) return y<<i;//若x==y,gcd==x==y(就是在辗转相减，while(1)控制）while(0==(x&1))x>>=1;       //去掉所有的2}
}int main(){int x,y;while(1){cin>>x>>y;cout<<GCD(x,y)<<endl;}return 0;
}

在原程序中插入一些cout，观察程序运行的具体方式（用乾隆的话说：盖满朕的大 cout 印）

（不懂的童鞋可以酱紫强势看懂程序，只不过有些麻烦）

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;//递归输出二进制函数
void BinaryRecursion(int n)
{int a;a=n%2;n=n>>1;if (n==0);elseBinaryRecursion(n);cout<<a;
}inline int GCD(int x,int y){cout<<"   ----------"<<endl;
cout<<"   x="<<x<<"   y="<<y<<endl;int i,j;if(x==0)return y;if(y==0)return x;cout<<"   x去掉2之前="<<x<<"  二进制形式=";BinaryRecursion(x);cout<<endl;for(j=0;0==(x&1);++i) x>>=1;    //去掉所以的2cout<<"   x去掉2之后="<<x<<"  二进制形式=";BinaryRecursion(x);cout<<endl;cout<<"   y去掉2之前="<<y<<"  二进制形式=";BinaryRecursion(y);cout<<endl;for(j=0;0==(y&1);++j) y>>=1;    //去掉所有的2cout<<"   y去掉2之后="<<y<<"  二进制形式=";BinaryRecursion(y);cout<<endl;
cout<<" i="<<i<<endl;
cout<<" j="<<j<<endl;if(j<i) i=j;while(1){cout<<"   ==========="<<endl;
cout<<"   x="<<x<<"  y="<<y<<endl;if(x<y) x^=y,y^=x,x^=y;     //若x<y交换x,yif(0==(x-=y)) {
cout<<"y<<"<<i<<"="<<(y<<i)<<endl;return y<<i;}//若x==y,gcd==x==y(就是在辗转相减，while(1)控制）while(0==(x&1))x>>=1;       //去掉所有的2}
}int main(){int x,y;while(1){cin>>x>>y;cout<<GCD(x,y)<<endl;}return 0;
}

在此插播一条博客，c++输出二进制形式数字的几种算法：https://blog.csdn.net/sodacoco/article/details/81624915 ,上面的牛皮*的一块。

以20,100 为例，运行结果：

这样结合上述原理，不说完全理解，实现过程应该明白的差不多了。

暂且整理这两个程序，对于二进制兴致大发是因为最近做的组合数的题目，大意是，求1-n中，与k互质的数，大意是将k分解质因子，然后从1-n中去除，用到了容斥定理，这些都能理解，自己也想明白了，就是搞不懂该怎么代码实现，看题解，看一个，二进制实现，看一个，二进制实现，硬着头皮去请教大佬二进制，结果还是没怎么明白，大佬默默的说了一句，下面的题好多都是二进制实现的，稍微看了一下，都说二进制能够实现好多不好实现的算法，再看看。