1.最短路

最短路，顾名思义，最短的路径。我们把边带有权值的图称为带权图。边的权值可以理解为两点之间的距离。一张图中任意两点之间会有不同的路径相连。最短路径就是指连接两点的这些路径中最短的一条。我们有四种算法可以有效地解决最短路径问题，但是当出现负边权时，有些算法不适用。

2. Floyd算法（解决多源最短路径）：时间复杂度O(n^3), 空间复杂度(n^2)

推荐一篇博客。写的非常易懂：Floyd

分类：多源最短路径算法。
作用：1.求最短路。 2.判断一张图中的两点是否相连。
优点：实现极为简单
缺点：只有数据规模较小且时空复杂度都允许时才可以使用
= 思想：3层循环，第一层枚举中间点k，第二层与第三层枚举两个端点i，j。若有dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j] 则把dis[i][j]更新成dis[i][k] + dis[k][j]（原理还是很好理解的）。
实现：
(a)初始化：点i，j如果有边相连，则dis[i][j] = w[i][j]。如果不相连，则dis[i][j] = 0x7fffffff（int极限值），表示两点不相连（或认为相隔很远）。
(b)算法代码：

for(int k = 1; k <= n; k++)  //枚举中间点（必须放最外层）for(int i = 1; i <= n; i++)  //枚举端点iif(i != k)for(int j = 1; j <= n; j++)  //枚举端点jif(i != j && j != k && dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j])dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];

完整代码

 1     #include 2     int main()  3     {  4     int e[10][10],k,i,j,n,m,t1,t2,t3;  5     int inf=99999999; //用inf(infinity的缩写)存储一个我们认为的正无穷值6     //读入n和m，n表示顶点个数，m表示边的条数7         scanf("%d %d",&n,&m);  8     //初始化9     for(i=1;i<=n;i++)
10     for(j=1;j<=n;j++)
11     if(i==j) e[i][j]=0;
12     else e[i][j]=inf;
13     //读入边
14     for(i=1;i<=m;i++)
15         {
16             scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
17             e[t1][t2]=t3;
18         }
19     //Floyd-Warshall算法核心语句
20     for(k=1;k<=n;k++)
21     for(i=1;i<=n;i++)
22     for(j=1;j<=n;j++)
23     if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j] )
24                         e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];
25     //输出最终的结果
26     for(i=1;i<=n;i++)
27         {
28     for(j=1;j<=n;j++)
29             {
30                 printf("%10d",e[i][j]);
31             }
32             printf("\n");
33         }
34     return 0;
35     }

Floyd-Warshall算法不能解决带有“负权回路”（或者叫“负权环”）的图，因为带有“负权回路”的图没有最短路。

如果是一个没有边权的图，把相连的两点间距离设为dis[i][j] = true，不相连的两点设为dis[i][j] = false，用Floyed算法的变形：

for(int k = 1; k <= n; k++)  //枚举中间点for(int i = 1; i <= n; i++)  //枚举端点iif(i != k)for(int j = 1; j <= n; j++)  //枚举端点jif(i != j && j != k)dis[i][j] = dis[i][j] || (dis[i][k] && dis[k][j]);（判断是否相连）

3. 迪杰斯特拉算法（解决单源最短路径）

分类：
单源最短路径算法。
适用于：
稠密图（侧重对点的处理）。
时间复杂度：
1.朴素：O(N^2)
2.堆优化：O(n * logn)
缺点：
不能处理存在负边权的情况。
算法思想：
把点分为两类，一类是已经确定最短路径的点，称之为“标记点”；另一类则是还未确定最短路径的点，称之为“未标记点”。如果要求出一个点的最短路径，就是把这个“未标记点”变成“标记点”，从起点到“未标记点”的最短路径上的中转点在这个时刻只能是“标记点”。
Dijkstra的算法思想，就是一开始将起点到起点的距离标记为0，而后进行n次循环，每次找出一个到起点距离dis[u]最短的点u，将它从“未标记点”变为“标记的点”。随后枚举所有的“未标记的点”vi，如果以此“标记的点”为中转点到达“未标记的点”vi的路径dis[u] + w[u][vi]更短的话，这将它作为vi的“更短路径”dis[vi]（此时还不确定是不是vi的最短路径）。
就这样，我们每找到一个“标记的点”，就尝试着用它修改其他所有的：“未标记的点”，故每一个终点一定能被它的最后一个中转点所修改，而求得最短路径。
优化思想：
利用堆（优先队列），把冗杂的枚举查找变成更加快速的堆直接弹出。
实现思路：
(a)初始化：dis[v] = oo (v != s); dis[s] = 0; pre[s] = 0;
(b)for(int i = 1; i <= n; i++)
1.在没有被访问过的点中找一个顶点u使得dis[u]是最小的。
2.u标记为已确定最短路径。
3.for与u相连的每个未确定最短路径的顶点v。

（伪代码）
if(dis[u] + w[u][v] < dis[v]){dis[v] = dis[u] + w[u][v];pre[v] = u;}

#define inf 99999999
/***构建邻接矩阵edge[][],且1为源点***/
for(i = 1; i <= n; i++) dst[i] = edge[1][s]；
for(i = 1; i <= n; i++) book[i] = 0;
book[1] = 1;
for(i = 1; i <= n-1; i++){//找到离源点最近的顶点u，称它为新中心点min = inf;for(j = 1; j <= n; j++){if(book[j] == 0 && dst[j] < min){min = dst[j];u = j;}}book[u] = 1;//更新最短路径数组for(k = 1; k <= n; k++){if(edge[u][k] < inf && book[k] == 0){if(dst[k] > dst[u] + edge[u][k])dst[k] = dst[u] + edge[u][k];         }}
}

4. Bellman算法

分类：
单源最短路径算法。
适用于：
稀疏图（侧重于对边的处理）。
优点：
可以求出存在负边权情况下的最短路径。
缺点：
无法解决存在负权回路的情况。
时间复杂度：
O(NE)，N是顶点数，E是边数。（因为和边有关，所以不适于稠密图）
算法思想：
很简单。一开始认为起点是“标记点”（dis[1] = 0），每一次都枚举所有的边，必然会有一些边，连接着“未标记的点”和“已标记的点”。因此每次都能用所有的“已标记的点”去修改所有的“未标记的点”，每次循环也必然会有至少一个“未标记的点”变为“已标记的点”。
算法实现：
初始化：dis[s] = 0; dis[v] = oo(v != s); pre[s] = 0;

（伪代码）
for(int i = 1; i <= n - 1; i++)for(int j = 1; j <= E; j++)  //注意要枚举所有边，不能枚举点if(dis[u] + w[j] < dis[v])  //u, v分别是这条边连接的两个点{dis[v] = dis[u] + w[j]pre[v] = u;}

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