数据结构基础(18) --哈希表的设计与实现

哈希表

根据设定的哈希函数 H(key)和所选中的处理冲突的方法，将一组关键字映射到一个有限的、地址连续的地址集 (区间) 上，并以关键字在地址集中的“映像”作为相应记录在表中的存储位置，如此构造所得的查找表称之为“哈希表”。

构造哈希函数的方法

1. 直接定址法(数组)

哈希函数为关键字的线性函数H(key) = key 或者 H(key) = a*key + b

此法仅适合于：地址集合的大小 == 关键字集合的大小

2. 数字分析法

假设关键字集合中的每个关键字都是由 s 位数字组成 (u1, u2, …, us)，分析关键字集中的全体，并从中提取分布均匀的若干位或它们的组合作为地址。

此方法仅适合于:能预先估计出全体关键字的每一位上各种数字出现的频度。

3. 平方取中法

以关键字的平方值的中间几位作为存储地址。求“关键字的平方值”的目的是“扩大差别” ，同时平方值的中间各位又能受到整个关键字中各位的影响。

此方法适合于:关键字中的每一位都有某些数字重复出现频度很高的现象。

4. 折叠法

将关键字分割成若干部分，然后取它们的叠加和为哈希地址。有两种叠加处理的方法：移位叠加和间界叠加。

此方法适合于:关键字的数字位数特别多;

5. 除留余数法

设定哈希函数为:{H(key) = key % p | 其中,p≤m(表长)并且p 应为不大于 m 的素数或是不含 20 以下的质因子}

为什么要对 p 加限制？

例如:给定一组关键字为：12, 39, 18, 24, 33,21，若取 p=9, 则他们对应的哈希函数值将为：3, 3, 0, 6, 6, 3;

可见，若 p 中含质因子 3，则所有含质因子 3 的关键字均映射到“3 的倍数”的地址上，从而增加了“冲突”的可能。

6. 随机数法

设定哈希函数为:H(key) = Random(key)其中，Random 为伪随机函数;

通常，此方法用于对长度不等的关键字构造哈希函数。

(如果关键字并不是数字, 则还需先对其进行数字化处理。)

实际造表时，采用何种构造哈希函数的方法取决于建表的关键字集合的情况(包括关键字的范围和形态)，总的原则是使产生冲突的可能性降到尽可能地小(下面我们将以除留余数法构造哈希函数)。

处理冲突的方法

“处理冲突” 的实际含义是：为产生冲突的地址寻找下一个哈希地址。

1. 开放定址法

为产生冲突的地址 H(key) 求得一个地址序列：{ H0, H1, …, Hs|1≤ s≤m-1}

其中: H0 = H(key)

Hi = ( H(key) + di ) % m {i=1, 2, …, s}

对增量 di 有三种取法：

1) 线性探测再散列
di = c * i 最简单的情况 c=1

2) 平方探测再散列
di = 1^2, -1^2, 2^2, -2^2, …,

3) 随机探测再散列
di 是一组伪随机数列或者di=i×H2(key) (又称双散列函数探测)

注意：增量 di 应具有“完备性”,即:产生的 Hi 均不相同，且所产生的s(m-1)个 Hi 值能覆盖哈希表中所有地址。则要求：

※ 平方探测时的表长 m 必为形如 4j+3 的素数（如: 7, 11, 19, 23, … 等）；

※ 随机探测时的 m 和 di 没有公因子。

2. 链地址法(又称拉链法)

将所有哈希地址相同的记录都链接在同一链表中(我们将采用的方法)。

哈希表的设计与实现

//哈希表设计
template <typename HashedObj>
class HashTable
{
public:typedef typename vector<HashedObj>::size_type size_type;public:explicit HashTable(int tableSize = 101): theList(tableSize), currentSize(0) {}~HashTable(){makeEmpty();}//判断元素x是否存在于哈希表中bool contains(const HashedObj &x) const;void makeEmpty();bool insert(const HashedObj &x);bool remove(const HashedObj &x);private:vector< list<HashedObj> > theList;size_type currentSize;void rehash();int myHash(const HashedObj &x) const;
};

哈希函数

//如果关键字并不是数字, 则需先对其进行数字化处理
template <typename Type>
int hash(Type key)
{return key;
}
template<>
int hash<const string &>(const string &key)
{int hashVal = 0;for (size_t i = 0; i < key.length(); ++i){hashVal = 37 * hashVal * key[i];}return hashVal;
}//哈希函数
template <typename HashedObj>
int HashTable<HashedObj>::myHash(const HashedObj &x) const
{//首先对key进行数字化处理int hashVal = hash(x);//计算哈希下标hashVal = hashVal % theList.size();if (hashVal < 0)hashVal += theList.size();return hashVal;
}

哈希表的插入

//插入
template <typename HashedObj>
bool HashTable<HashedObj>::insert(const HashedObj &x)
{//首先找到应该插入的桶(链表)list<HashedObj> &whichList = theList[ myHash(x) ];//哈希表中已经存在该值了if (find(whichList.begin(), whichList.end(), x) != whichList.end())return false;//插入桶中whichList.push_back(x);//如果此时哈希表已经"满"了(所存储的元素个数 = 哈希表的槽数)//装载因子 == 1, 为了获取更好的性能, 再哈希if (++ currentSize > theList.size())rehash();return true;
}

再哈希

//判断是否是素数
bool is_prime(size_t n)
{if (n == 1 || !n)return 0;for (size_t i = 2; i*i <= n; i++)if (!(n%i))return 0;return 1;
}
//寻找下一个素数
size_t nextPrime(size_t n)
{for (size_t i = n; ; ++i){if (is_prime(i))return i;}return -1;
}

//再哈希
template <typename HashedObj>
void HashTable<HashedObj>::rehash()
{vector< list<HashedObj> > oldList = theList;//以一个大于原表两倍的第一个素数重新设定哈希桶数theList.resize( nextPrime(2*theList.size()) );//将原表清空for (typename vector< list<HashedObj> >::iterator iter = theList.begin();iter != theList.end();++ iter)iter -> clear();//将原表的数据插入到新表中for (size_type i = 0; i < oldList.size(); ++i){typename list<HashedObj>::iterator iter = oldList[i].begin();while (iter != oldList[i].end()){insert(*iter ++);}}
}

哈希表的查找

查找过程和造表过程一致。假设采用开放定址处理冲突，则查找过程为：对于给定值 K，计算哈希地址 i = H(K),若 r[i] = NULL 则查找不成功,若 r[i].key = K 则查找成功否则 “求下一地址 Hi” ，直至 r[Hi] = NULL (查找不成功)或r[Hi].key = K (查找成功) 为止。

而我们采用比较简单的链地址法(也称拉链法的查找实现):

//查找:判断哈希表中是否存在该元素
template <typename HashedObj>
bool HashTable<HashedObj>::contains(const HashedObj &x) const
{const list<HashedObj> &whichList = theList[ myHash(x) ];if (find(whichList.begin(), whichList.end(), x) != whichList.end())return true;return false;
}

哈希表查找的分析:

从查找过程得知,哈希表查找的平均查找长度实际上并不等于零。决定哈希表查找的ASL的因素

1)选用的哈希函数；

2)选用的处理冲突的方法；

3)哈希表饱和的程度，装载因子 α=n/m 值的大小(n:记录数，m:表的长度)

一般情况下，可以认为选用的哈希函数是“均匀”的，则在讨论ASL时，可以不考虑它的因素。

因此，哈希表的ASL是处理冲突方法和装载因子的函数。可以证明,查找成功时有下列结果

线性探测再散列:

随机探测再散列:

链地址法

从以上结果可见：哈希表的平均查找长度是装载因子的函数，而不是 n 的函数;这说明，用哈希表构造查找表时,可以选择一个适当的装填因子,使得平均查找长度限定在某个范围内(这是哈希表所特有的特点).

哈希表的删除操作

//删除
template <typename HashedObj>
bool HashTable<HashedObj>::remove(const HashedObj &x)
{list<HashedObj> &whichList = theList[ myHash(x) ];typename list<HashedObj>::iterator iter = find(whichList.begin(), whichList.end(), x);//没有找到该元素if (iter == whichList.end())return false;whichList.erase(iter);-- currentSize;return true;
}

清空哈希表

//清空哈希表
template <typename HashedObj>
void HashTable<HashedObj>::makeEmpty()
{for (typename vector< list<HashedObj> >::iterator iter = theList.begin();iter != theList.end();++ iter){iter -> clear();}
}

附1-测试代码

int main()
{HashTable<int> iTable;// 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10for (int i = 0; i < 10; ++i)iTable.insert(i+1);for (int i = 0; i < 10; ++i)if (iTable.contains(i+1))cout << i << ": contains..." << endl;elsecout << i << ": not contains" << endl;cout << endl;//1 2for (int i = 0; i < 10; ++i)iTable.remove(i+3);for (int i = 0; i < 10; ++i)if (iTable.contains(i))cout << i << ": contains..." << endl;elsecout << i << ": not contains" << endl;cout << endl;// 6 8iTable.makeEmpty();iTable.insert(6);iTable.insert(8);for (int i = 0; i < 10; ++i)if (iTable.contains(i))cout << i << ": contains..." << endl;elsecout << i << ": not contains" << endl;return 0;
}

附2-各类算法复杂度的比较