摘要

大家都知道，矩阵法求解方程组时需要对矩阵做行变换或者列变换（就是化成对角是1，下三角全是0的样子），这一步其实是比较头疼的。可能是我学识尚浅，没有找到python、R和Matlab对于这个小步骤的编程方法或者包（调包侠是我没错了(doge)）。因此写下这一篇博客记录一下。

背景

在小学四年级左右，我们就已经开始学习如何解方程。先是学一元一次方程，再是二元一次，后面多元一次。再后来，初中就学习一元二次方程，接触一元多次方程。今天给大家聊聊多元一次方程的解法。此外，我们还接触了齐次方程和非齐次方程。直到上大学，学习了高等代数，知道有矩阵、行列式这种好东西之后，才对方程组有了更加深入的了解。

今天跟大家分享一段基于python实现矩阵法求解齐次方程组的代码。

基本方法

假设现在要解一个方程组：
{x1−x2+x3=0x2+x3−x4=04x1+x2−x3−x4=0x1−2x2+x4=0(1)\begin{cases} x_1-x_2+x_3=0\\ x_2+x_3-x_4=0\\ 4x_1+x_2-x_3-x_4=0\\ x_1-2x_2+x_4=0\\ \end{cases} \tag{1} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1−x2+x3=0x2+x3−x4=04x1+x2−x3−x4=0x1−2x2+x4=0(1)
我们一般会想到未知量相互转换代入的方法来算，这样的计算思想和方法比较简单，但是未知量数量越多，计算量会越大。我算了一下，答案是：
{x1=15ax2=13ax3=12ax4=a(2)\begin{cases} x_1=\frac{1}5a\\ x_2=\frac{1}3a\\ x_3=\frac{1}2a\\ x_4=a \end{cases} \tag{2} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1=51ax2=31ax3=21ax4=a(2)
此时再取 x4=a=1x_4=a=1x4=a=1 ，就能求出：
{x1=0.2x2=0.6x3=0.4x4=1(3)\begin{cases} x_1=0.2\\ x_2=0.6\\ x_3=0.4\\ x_4=1 \end{cases} \tag{3} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x1=0.2x2=0.6x3=0.4x4=1(3)
由此可见，解法还是比较简单的，接下来试试高级解法。

矩阵方法

学过高代或者线代的小伙伴就知道，可以将(1)中的方程组转换如下形式：
[1−110011−141−1−11−201]×[x1x2x3x4]=[0000]\left[ \begin{array}{lcr} 1&-1&1&0\\ 0&1&1&-1\\ 4&1&-1&-1\\ 1&-2&0&1 \end{array} \right] \times\left[ \begin{array}{lcr} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array}\right] =\left[ \begin{array}{lcr} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] ⎣⎢⎢⎡1041−111−211−100−1−11⎦⎥⎥⎤×⎣⎢⎢⎡x1x2x3x4⎦⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎡0000⎦⎥⎥⎤
简化下，就得到：
AX⃗=0⃗A \vec X = \vec 0 AX=0
这时候就需要对矩阵AAA进行行变换或者列变换（两种变换方法只能选一种），变换成对角是1，下三角全是0的样子：
注意：∗\color{red}*∗ 这个位置其实是0，因为等于别的数字其实没有实际意义。
A=[100a1010a2001a3000∗]A=\left[ \begin{array}{lcr} 1&0&0&a_1 \\ 0&1&0&a_2 \\ 0&0&1&a_3 \\ 0&0&0&\color{red}* \end{array}\right] A=⎣⎢⎢⎡100001000010a1a2a3∗⎦⎥⎥⎤

python代码实现

对于这种操作，我使用的编译器是Jupyter Notebook。代码可分段还有单独弹窗功能真的对这类编程问题很友好！安装很简单，这里不多说。

开始吟唱：

# 加这段代码是为了能多次输出，不用一直print()，减少麻烦
from IPython.core.interactiveshell import InteractiveShell
InteractiveShell.ast_node_interactivity = "all"

# 调库，基本操守
import numpy as np

A = np.mat([[1, -1, 1, 0], [0, 1, 1, -1], [4, 1, -1, -1], [1, -2, 0, 1]])
print('原矩阵为A = \n{0}'.format(A))
# 获取行列
row, col = A.shape[0], A.shape[1]

# 输出
原矩阵为A =
[[ 1 -1  1  0][ 0  1  1 -1][ 4  1 -1 -1][ 1 -2  0  1]]

前方高能！这三个函数是这篇文章的核心！\color{red}前方高能！这三个函数是这篇文章的核心！前方高能！这三个函数是这篇文章的核心！

# normalization(li, first_non_0, A)：将矩阵归一化
def normalization(li, first_non_0, A):# 初始化一个列表来存储每一行不为零的位置li = []# 初始化一个数组来存储每行中不为零的第一个数first_non_0 = np.zeros((row, 1))for i in range(row):position = np.nonzero(A[i, ])[1]li.append(position)print('\n li: 每一行不为 0 的位置\n{0}'.format(li))inp = int(input('若出现空值，请输入0；若还没有出现空值，请输入任意数字'))if inp == 0:for i in range(row-1):first_non_0[i] = A[i, li[i][0]]first_non_0[row-1] = 1print('\n first_non_0: 每一行不为 0 的第一个数\n{0}'.format(first_non_0))else:for i in range(row):first_non_0[i] = A[i, li[i][0]]print('\n first_non_0: 每一行不为 0 的第一个数\n{0}'.format(first_non_0))# 归一化A = A / first_non_0return li, first_non_0, A# diagonalization_left(A, k)：将左下角对角成 0
# k: 就是目前第几列需要减去第一列。例如，目前是第一列,所以需要给k赋值 0def diagonalization_left(A, k):for l in range(k+1, col):if A[l, k] == 1:A[l, ] = A[l, ] - A[k, ]return A# 前两个函数及其步骤已经将对左下区域变成了 0
# 现在需要对右上的小三角形变成 0def diagonalization_right(A):for j in range(1, col-1):rate = []for i in range(j):rate.append(A[i, j]/A[j, j])if A[i, j] != 0:A[i, ] = A[i, ] - rate[i]*A[j, ]return A

高能结束，接下来就是一步一步运行了

注意:归一化函数normolization的输出有多个，所以可以使用列表多重输出。

接下来就直接放图片吧，很容易懂的。
(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)\color{red}(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)
(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)\color{red}(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)
(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)\color{red}(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)(顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知)
咳咳…，继续吟唱：

完成！

最后捞一把哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈(卑微)

顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知\color{red}顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知顺带多嘴一句，有没有朋友知道可以实现长截图的软件？除了QQ，求告知求告知

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