#3688. 毒瘤（duliu）

题目描述

从前有一名毒瘤。

毒瘤最近发现了量产毒瘤题的奥秘。考虑如下类型的数据结构题：给出一个数组，要求支持若干种奇奇怪怪的修改操作（例如给一个区间内的数同时加上 ccc，或者将一个区间内的数同时开平方根），并且支持询问区间的和。毒瘤考虑了 nnn 个这样的修改操作,并将它们编号为 1…n1 \ldots n1…n。当毒瘤要出数据结构题的时候，他就将这些修改操作中选若干个出来，然后出成一道题。

当然了，这样出的题有可能不可做。通过精妙的数学推理，毒瘤揭露了这些修改操作之间的关系：有 mmm 对「互相排斥」的修改操作，第 iii 对是第 uiu_iui 个操作和第 viv_ivi 个操作。当一道题中同时含有 uiu_iui 和 viv_ivi 这两个操作时，这道题就会变得不可做。另一方面，当一道题中不包含任何「互相排斥」的操作时，这个题就是可做的。此外，毒瘤还发现了一个规律：m−nm − nm−n 是一个很小的数字（参见「数据范围」中的说明），且任意两个修改操作都是连通的。两个修改操作 a,ba, ba,b 是连通的，当且仅当存在若干操作 t0,t1,...,tlt_0, t_1, ... , t_lt0,t1,...,tl，使得 t0=a,tl=bt_0 = a,t_l = bt0=a,tl=b，且对任意 1≤i≤l1 \le i \le l1≤i≤l，ti−1t_{i−1}ti−1 和 tit_iti 都是「互相排斥」的修改操作。

一对「互相排斥」的修改操作称为互斥对。现在毒瘤想知道，给定值 nnn 和 mmm 个互斥对，他一共能出出多少道可做的不同的数据结构题。两个数据结构题是不同的，当且仅当其中某个操作出现在了其中一个题中，但是没有出现在另一个题中。

题解

为什么看到的题解都是虚树啊？这里介绍一个 ddp\text{ddp}ddp 做法。

如果 m=n−1m=n-1m=n−1 的话，那就是简单 dp\text{dp}dp ： f[u][0/1]f[u][0/1]f[u][0/1] 表示 uuu 这个点选/不选的方案数，转移显然。

那现在如果 n≤mn \le mn≤m 的话，由于 m−n+1m-n+1m−n+1 不大所以我们只要减掉不合法情况即可，容易想到容斥。即枚举状态然后把状态中为 111 的边的两端强制选（即 f[u][0]=0f[u][0]=0f[u][0]=0 ），然后再做 dp\text{dp}dp 即可，可是这样是 O(2m−n+1n)O(2^{m-n+1}n)O(2m−n+1n) 的过不去。然后我们发现转移可以写成矩阵的形式，于是就可以用树剖+线段树维护矩阵乘即可，效率 O(2m−n+1log2n+n)O(2^{m-n+1}log^2n+n)O(2m−n+1log2n+n) 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+15,M=N<<1,P=998244353;
int n,m,hd[N],V[M],nx[M],t=1,top[N],sz[N],dp[N],fa[N];
int son[N],f[N][2],h[N],df[N],id[N],b[15],g[N][2],s;
vector<int>G[N][2];bool vis[N];
struct O{int p[2][2];}W,a[N<<2];
int X(int x){return x>=P?x-P:x;}
int K(int x,int y){int z=1;for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P)if (y&1) z=1ll*z*x%P;return z;
}
O Mul(O A,O B){for (int i=0;i<2;i++)for (int j=0;j<2;j++){W.p[i][j]=0;for (int k=0;k<2;k++)W.p[i][j]=X(W.p[i][j]+1ll*A.p[k][j]*B.p[i][k]%P);}return W;
}
void add(int u,int v){nx[++t]=hd[u];V[hd[u]=t]=v;
}
void dfs(int u,int fr){dp[u]=dp[fa[u]=fr]+1;sz[u]=1;vis[u]=1;for (int v,i=hd[u];i;i=nx[i]){if (vis[v=V[i]]) continue;dfs(v,u);sz[u]+=sz[v];if (sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;}
}
void Dfs(int u,int tp){top[u]=tp;h[u]=df[id[u]=++t]=u;if (son[u]) Dfs(son[u],tp),h[u]=h[son[u]];for (int i=hd[u];i;i=nx[i])if (V[i]!=son[u] && fa[V[i]]==u)Dfs(V[i],V[i]);
}
void Dp(int u){f[u][0]=f[u][1]=g[u][0]=g[u][1]=1;for (int v,i=hd[u];i;i=nx[i])if (fa[v=V[i]]==u) Dp(v),f[u][0]=1ll*f[u][0]*(f[v][0]+f[v][1])%P,f[u][1]=1ll*f[u][1]*f[v][0]%P;
}
#define Ls k<<1
#define Rs k<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
void build(int k,int l,int r){if (l==r){int u=df[l];for (int i=hd[u];i;i=nx[i])if (V[i]!=son[u] && fa[V[i]]==u)g[u][0]=1ll*g[u][0]*(f[V[i]][0]+f[V[i]][1])%P,g[u][1]=1ll*g[u][1]*f[V[i]][0]%P;a[k]=(O){g[u][0],g[u][0],g[u][1],0};return;}build(Ls,l,mid);build(Rs,mid+1,r);a[k]=Mul(a[Rs],a[Ls]);
}
O qry(int k,int l,int r,int L,int R){if (L<=l && r<=R) return a[k];if (mid<L) return qry(Rs,mid+1,r,L,R);if (mid>=R) return qry(Ls,l,mid,L,R);return Mul(qry(Rs,mid+1,r,L,R),qry(Ls,l,mid,L,R));
}
void upd(int k,int l,int r,int x,int v0,int v1){if (l==r){a[k]=(O){v0,v0,v1,0};return;}if (mid>=x) upd(Ls,l,mid,x,v0,v1);else upd(Rs,mid+1,r,x,v0,v1);a[k]=Mul(a[Rs],a[Ls]);}
void del(int x,int o){O v;int v0,v1,u;while(x!=1){v=qry(1,1,n,id[x],id[h[x]]);v0=v.p[0][0],v1=v.p[1][0],u=fa[x];if (!o) G[u][0].push_back(g[u][0]),G[u][1].push_back(g[u][1]);g[u][0]=1ll*g[u][0]*K(X(v0+v1),P-2)%P;g[u][1]=1ll*g[u][1]*K(v0,P-2)%P;x=top[u];}
}
void ins(int x,int o){O v;int v0,v1,u;while(x!=1){v=qry(1,1,n,id[x],id[h[x]]);v0=v.p[0][0],v1=v.p[1][0],u=fa[x];if (o){int z=G[u][0].size();g[u][0]=G[u][0][z-1];G[u][0].pop_back();g[u][1]=G[u][1][z-1];G[u][1].pop_back();}elseg[u][0]=1ll*g[u][0]*(v0+v1)%P,g[u][1]=1ll*g[u][1]*v0%P;upd(1,1,n,id[u],g[u][0],g[u][1]);x=top[u];}
}
int main(){cin>>n>>m;for (int u,v,i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&u,&v),add(u,v),add(v,u);t=0;dfs(1,0);Dfs(1,1);Dp(1);build(1,1,n);t=0;for (int u,v,i=1;i<=m;i++){u=V[i<<1],v=V[i<<1|1];if (dp[u]>dp[v]) swap(u,v);if (fa[v]!=u) b[t++]=i;}for (int F,i=(1<<t)-1;~i;i--){F=1;for (int j=0;j<t;j++)if ((i>>j)&1){F=P-F;for (int u,k=0;k<2;k++){u=V[b[j]<<1|k];del(top[u],0);G[u][0].push_back(g[u][0]);G[u][1].push_back(g[u][1]);upd(1,1,n,id[u],g[u][0]=0,g[u][1]);ins(top[u],0);}}O v=qry(1,1,n,1,id[h[1]]);s=X(1ll*F*(v.p[0][0]+v.p[1][0])%P+s);for (int z,j=t-1;~j;j--)if ((i>>j)&1){F=P-F;for (int u,k=0;k<2;k++){u=V[b[j]<<1|k];del(top[u],1);z=G[u][0].size();g[u][0]=G[u][0][z-1];G[u][0].pop_back();g[u][1]=G[u][1][z-1];G[u][1].pop_back();upd(1,1,n,id[u],g[u][0],g[u][1]);ins(top[u],1);}}}cout<<s<<endl;return 0;
}

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