动态规划——钢条切割

有一根钢条，和他的长度价格表，真么样切割才能使得售出的钢条收益最大。

不考虑钢条的切割损耗。

输入n 表示钢条的长度

价格表p[i] 表示长度为i的钢条出售的价格

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这个问题使用动态规划有两种解法，一种是自顶向下的递归求解方法，第二种是自底向上的迭代求解法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;//长度为n, 价格表p[i]表示长度为i的钢管能买的钱数
//一共有n+1个元素，下标从1开始，p[0]在自顶向下的递归方法中p[0] = 0;
//朴素算法
int CUT_POP(int *p, int n)
{if(n == 0)return 0;int q = INT_MIN;for(int i=1;i<=n;i++)q = max(q,p[i] + CUT_POP(p,n-i));return q;
}
/*自顶向下的递归求解方法*/
//参数：价格表p数组， 剩余长度为n，辅助数组r，表示已经计算出的r_index长度的钢筋做多可以买多少钱
int MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(int *p, int n, int *r)
{int q;if(r[n] >= 0)return r[n];if(n == 0)      //相当于基线q = 0;else{q = INT_MIN;//这里其实就是枚举不同的长度组合//注意：p[10]是第11个元素//(1,9) (2,8) (3,7) (4,6) (5,5) (4,6) (6,4) (7,3) (8,2) (9,1) (10,0)//能够看到，这样做有其正确性，i = 10 的时候，n - i = 0，正好递归到基线处for(int i = 1;i<=n;i++)q = max(q, p[i] + MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(p,n - i  ,r));}r[n] = q;return q;
}
int MEMOIZED_CUT_ROD(int *p, int n)
{int *r = new int[n+1];for(int i=0;i<=n;i++){r[i] = INT_MIN;}return MEMOIZED_CUT_ROD_AUX(p,n,r);
}
/*自底向上的迭代求解方法*/
int BOTTOM_UP_CUT_ROD(int *p, int n)
{int *r = new int[n+1];r[0] = 0;//枚举出每段长度的最优解1~nfor(int j=1;j<=n;j++){int q = INT_MIN;//同样也是枚举最优解，这个枚举是上面枚举的进一步枚举for(int i=1;i<=j;i++){q = max(q, p[i] + r[j-i]); //对于这里的正确性//把子问题拆成更小的子问题,i = 1, j = i 开始/* (i,j-i),i + (j-i) = j 所以，这里其实就是对于上面枚举的进一步枚举* (1,0)* (1,1) (2,0)* (1,2) (2,1) (3,0)* (1,3) (2,2) (3,1) (4,0)* ...* (1,9) (2,8) ... (10,0)* */}r[j] = q;}return r[n];
}struct Data
{int r[20];int s[20];
};
/*自底向上迭代法的升级版，可看出解的情况*/
Data* EXTENDED_BOTTOM_UP_CUT_ROD(const int *p, int n)
{Data *_data = new Data;_data->r[0] = 0;for(int j=1;j<=n;j++){int q = INT_MIN;for(int i=1;i<=j;i++){if(q < p[i] + _data->r[j-i]){q = p[i] + _data->r[j-i];_data->s[j] = i;    //这个不能放到循环外的原因是因为表达式的右值是 i，不能一次确定}}_data->r[j] = q;    //q = max(q, p[i] + r[j - i])}return _data;           //返回二元组
}
int main() {int n;cin >> n;int p[20];for(int i=1;i<=n;i++){cin >> p[i];}int ans;int choose;//选择方法cin >> choose;if(choose == 1) ans = CUT_POP(p,n);else if(choose == 2) ans = MEMOIZED_CUT_ROD(p,n);else if(choose == 3) ans = BOTTOM_UP_CUT_ROD(p,n);else {Data *temp = EXTENDED_BOTTOM_UP_CUT_ROD(p,n);ans = temp->r[n];while(n > 0){cout << temp->s[n] <<" ";n -= temp->s[n];}cout << endl;delete temp;}cout << ans <<endl;return 0;
}

其实这种动态规划和归并排序有着异曲同工之妙，都是通过把为题分成更小的子问题进而求解整个问题

只不过自顶向下的求解方法是从大问题看向小问题，自底向上的求解方法是从小问题看向大问题

第一种方法就是朴素算法，暴力枚举，但是就像斐波那契数列一样，该方法重复求解了子问题，造成了时间的浪费

第二种方法是第一种方法的改进版本,称作带备忘的自定向下法。此方法仍按照递归的方式求解，但过程会保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或者是散列表中）。当需要一个子问题的解是，过程首先检查是否已经保存过子解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省了计算时间；否则，按照通常的方式求解

第三种称为自底向上法。这种方法一般需要恰当定义子问题的“规模”的概念，是的任何子问题的求解都只依赖于“更小的”子问题求解。因为我们可以将子问题按规模排序（一个抽象过程），按从小到大的顺序求解。当求解某个子问题时，他一来那些更小子问题都已经求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需求解一次，当我们求解他（也是第一次遇到它）时，它的所有前提子问题都已经求解完成

第四种方法是第三种方法的重构解，在其基础上加上了另一个数组s，并在求解规模为j的子问题时将第一段钢条的最优切割长度i保存在s[j]中，在输出的时候，因为是自底向上，所以求出当前最优子解向前寻找即可，因为只是把当前钢条假想成切割成两段即可，因为更小的子问题已经求解。

最重要的还是理解自底向上和自顶向下这两种设计模式，融汇贯通其他问题，类似的，动态规划也融汇了分治的思想。

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