【读书笔记 | 自动驾驶中的雷达信号处理（第4章雷达波形及其数学模型）】

本文编辑：调皮哥的小助理

4.1介绍

雷达的频率覆盖范围很广，本文讨论了在目标探测和定位中使用的各种雷达波形，内容十分重要，各位读者需要静下心来细嚼慢咽，相信只要用心，必定有所收获。

4.2波形类型简介

在设计雷达系统之前，必须对系统的特性做出关键的选择，其中就包括雷达波形。波形不仅决定了用于处理接收信号的算法类型，而且对系统硬件单元的成本以及复杂性有影响。

一般来说，雷达波形的分类法将它们分为连续波或脉冲波。连续波通常需要单独的接收和发射天线。 隔离要求限制了发射功率，但距离估计一般不受影响。

之前说大多数毫米波雷达的发射功率大多都在12dBm，除了EIRP还跟隔离度有关。
EIRP：等效全向辐射功率（equivalent isotropically radiated power，EIRP），或叫有效全向辐射功率，是无线电通信领域的一个常见概念，它指的是卫星、雷达或地面站在某个指定方向上的辐射功率，理想状态下等于功放的发射功率天线的增益。
另一方面，对于脉冲信号，同一天线可用于发射和接收，功率限制有所放宽，但会产生盲区，在选择波形时必须权衡利弊。

更进一步讲，调制技术会进一步区分最后使用的波形类型。在通信系统中，振幅调制、相位调制以及频率调制可以应用于波形。另外，极化的选择对接收信号的处理也有很大的影响，在下面我们将介绍最常用的雷达波形及其特性。

（图1 速度检测的连续波实例）

4.3连续波形(CW)

图1所示的单频连续波雷达只能测速，无法测距，这个结论很重要。频率分辨率为 Δf=1/Tcw\Delta f=1 / T_{c w}Δf=1/Tcw，其中 TcwT_{c w}Tcw 是连续波的周期。

4.4脉冲多普勒雷达波形(PDR)

使用脉冲多普勒雷达，良好的距离分辨率和多普勒分辨率。它们分别由Δf=1Np∗Tp\Delta f=\frac{1}{N_p * T_p}Δf=Np∗Tp1和 ΔR=c∗Tp/2\Delta R=c * T_p / 2ΔR=c∗Tp/2 给出，其中 NpN_pNp 是脉冲数，TpT_pTp 是脉冲宽度，并且 ccc是光速。图 2 是 PDR 波形的示例。

（图2 脉冲多普勒雷达示例(用于距离和速度探测的PDR波形）

4.5调频连续波 (FMCW)及其变化

FMCW是最常用的波形之一，因为它可以以更低成本的设备估计距离和速度，虽然脉冲多普勒雷达可以实现相同的功能，但系统设计复杂，成本也很高。用商人的思维来讲就是：宁可少花一块钱，也要选择成本低的。

4.5.1线性调频连续波(LFMCW)

由于目标距离和多普勒频移产生一个拍频，拍频的分量由下列表达式给出：
fb=BTs∗2Rcf_b=\frac{B}{T_s} * \frac{2 R}{c}fb=TsB∗c2R
fD=2vrλf_D=\frac{2 v_r}{\lambda}fD=λ2vr（4.1）

关于这部分公式的推导，可以查看下面的文章：

调皮连续波：雷达原理 | 用MATLAB信号处理是如何解算目标的距离和速度信息的？

它们叠加成上下chirp的差频分别是 fbuf_{b u}fbu 和 fbdf_{b d}fbd ，如图3所示。

（图3 用于距离和速度检测的LFMCW示例）

fbu=fb−fdfbd=fb+fd\begin{aligned} f_{b u} &=f_b-f_d \\ f_{b d} &=f_b+f_d \end{aligned}fbufbd=fb−fd=fb+fd（4.2）

从方程式(4.2)可以估计出目标距离和径向速度为：
R=cTs4B∗(fbd+fbu)R=\frac{c T_s}{4 B} *\left(f_{b d}+f_{b u}\right)R=4BcTs∗(fbd+fbu)
vr=λ4(fbd−fbu)v_r=\frac{\lambda}{4}\left(f_{b d}-f_{b u}\right)vr=4λ(fbd−fbu)（4.3）

FMCW:虚假（ghost）目标

对于单目标场景，通常从上下chirp得到的距离-速度谱的交集提取目标距离和速度，如图4a所示。对于多个目标，距离-速度谱的多次相交会产生虚假目标，如图4b所示。

（图4 LFMCW单目标距离-速度谱示例。目标距离和速度可以明确地提取出来，b来自LFMCW的多目标距离-速度谱示例，虚假目标来自不同目标之间的多个交点）

在汽车航行中出现严重问题的虚假目标会导致错误的距离和速度，错误的位置会导致致命的车祸，增加了位置判断的风险。

4.5.2 步进FMCW

步进FMCW 雷达系统发射不同频率的一系列正弦波，并在每个离散频率上测量雷达通道引起的稳定幅值和相移。步进FMCW可以简化信号处理技术，因为可以使用固定的稳定频率。具体来说，可以使用逆离散傅里叶变换 (IDFT) 计算目标的距离，这可以通过快速 FFT 算法来实现。图5给出了步进 FMCW 方案。

（图5 用于距离和速度检测的步进FMCW示例）

在距离 RRR 处来自目标的反射信号的相位由下式给出：
φ=2πfc∗2Rc\varphi=2 \pi f_c * \frac{2 R}{c}φ=2πfc∗c2R（4.4）

由式(4.4)可以提取距离为：

R=cφ4πfcR=\frac{c \varphi}{4 \pi f_c}R=4πfccφ（4.5）

但是在高频下最大不模糊距离 Rmax⁡R_{\max }Rmax 太小，特别是对于汽车应用。例如，以 2π2 \pi2π 的最大可能相位为例，中心频率为 77 GHz 的相应最大距离为：

Rmax⁡=cφ4πfc=2π∗3×1084π∗77×109=377∗2∗10=0.195cmR_{\max }=\frac{c \varphi}{4 \pi f_c}=\frac{2 \pi * 3 \times 10^8}{4 \pi * 77 \times 10^9}=\frac{3}{77 * 2 * 10}=0.195 \mathrm{~cm}Rmax=4πfccφ=4π∗77×1092π∗3×108=77∗2∗103=0.195 cm（4.6）

这显然对许多应用程序没有实际用途。但是，如果两个中心频率 f1f_1f1 和 f2f_2f2 ，那么对于距离 RRR 的目标，由两个频率得到的相位为：

φ1=2πf1∗2Rcφ2=2πf2∗2Rc\begin{aligned} \varphi_1 &=2 \pi f_1 * \frac{2 R}{c} \\ \varphi_2 &=2 \pi f_2 * \frac{2 R}{c} \end{aligned}φ1φ2=2πf1∗c2R=2πf2∗c2R（4.7）

相位差 Δφ\Delta \varphiΔφ 变为：

Δφ=φ2−φ1=4πRc(f2−f1)=4πRcΔf\Delta \varphi=\varphi_2-\varphi_1=\frac{4 \pi R}{c}\left(f_2-f_1\right)=\frac{4 \pi R}{c} \Delta fΔφ=φ2−φ1=c4πR(f2−f1)=c4πRΔf（4.8）

其中 Δf=f2−f1\Delta f=f_2-f_1Δf=f2−f1 是步进频率，由上式(4.8)可以估计出距离为：

R=cΔφ4πΔfR=\frac{c \Delta \varphi}{4 \pi \Delta f}R=4πΔfcΔφ（4.9）

对于2π2 \pi2π 的最大可能相位差，则最大距离为：

Rmax⁡=2πc4πΔf=c2ΔfR_{\max }=\frac{2 \pi c}{4 \pi \Delta f}=\frac{c}{2 \Delta f}Rmax=4πΔf2πc=2Δfc（4.10）

对于步进频率为10MHz，则最大距离为：

Rmax⁡=3×1082×10×106=15mR_{\max }=\frac{3 \times 10^8}{2 \times 10 \times 10^6}=15 \mathrm{~m}Rmax=2×10×1063×108=15 m（4.11）

可以设定一个目标的最大距离，选择合适的步进频率值，这就是步进FMCW波形法距离估计的基本原理。这部分内容和脉冲雷达参差重频解距离模糊有异曲同工之妙。

4.5.3 多频移键控(MFSK)

MFSK波形提供了同时测量明确范围和速度的可能性，如图6所示，使用了两个相互交织并移位的频率A和B。基于从fAf_AfA 和 fBf_BfB测量的距离谱的相位差和步进频率，其距离 RRR 可以估计为：

R=−cΔφ4πfstep R=\frac{-c \Delta \varphi}{4 \pi f_{\text {step }}}R=4πfstep −cΔφ（4.12）

其中，Δφ=fB−fA\Delta \varphi=f_B-f_AΔφ=fB−fA 是相位差。

(图6 用于距离和速度检测的MFSK波形示例，采用两个频率步长A和B)

具体原理可以参考下面文献：

[1]蒋留兵,宋永坤,车俐.一种MFSK车载雷达距离速度测量方法[J].现代雷达,2017,39(11):27-33.DOI:10.16592/j.cnki.1004-7859.2017.11.006.

从FFT频谱中，可以估计两个频率的峰值将在 Npeak N_{\text {peak }}Npeak 表示的同一个Bin（距离仓）处检测到，下面的表达式定义了距离和速度中的模糊。

Npeak =vΔv−RΔRN_{\text {peak }}=\frac{v}{\Delta v}-\frac{R}{\Delta R}Npeak =Δvv−ΔRR（4.13）

其中 Δv\Delta vΔv 是速度分辨率，ΔR\Delta RΔR 是距离分辨率，相位差由下式给出：

Δφ=vΔv∗(πN−1)−2fshift c∗2πR\Delta \varphi=\frac{v}{\Delta v} *\left(\frac{\pi}{N-1}\right)-\frac{2 f_{\text {shift }}}{c} * 2 \pi RΔφ=Δvv∗(N−1π)−c2fshift ∗2πR（4.14）

其中，N是FFT点数。

将速度表达式代入（4.14）得到最大不模糊距离为：

Runamb =cΔRπ(N−1)∗Δφ−Npeak ∗πc−4(N−1)ΔRfshift .R_{\text {unamb }}=\frac{c \Delta R}{\pi} \frac{(N-1) * \Delta \varphi-N_{\text {peak }} * \pi}{c-4(N-1) \Delta R f_{\text {shift }}} .Runamb =πcΔRc−4(N−1)ΔRfshift (N−1)∗Δφ−Npeak ∗π.（4.15）

同理，最大不模糊速度可以表示为：

vunamb =(N−1)Δvπ(cΔφ−4πΔRfshift Npeakk )c−4(N−1)ΔRfshift v_{\text {unamb }}=\frac{(N-1) \Delta v}{\pi} \frac{\left(c \Delta \varphi-4 \pi \Delta R f_{\text {shift }} N_{\text {peakk }}\right)}{c-4(N-1) \Delta R f_{\text {shift }}}vunamb =π(N−1)Δvc−4(N−1)ΔRfshift (cΔφ−4πΔRfshift Npeakk )（4.16）

由上述可以看出，从频谱得到的相移信息 Δφ\Delta \varphiΔφ 就足以清楚地估计目标的距离和速度。

4.5.4 间断FMCW(FMICW)

FMICW 解决了发射器和接收器之间的隔离问题，这可以通过仅在开关信号关闭时启用接收来实现，如图 7 所示。

(图7用于距离和速度检测的FMICW示例。蓝色的波形是原始的不间断波形，红色为发射波形，绿色虚线为反射波形)
仅当定时信号关闭且接收波形由阴影部分显示时才允许接收，从图 7 可以看出，对于近距离目标，总接收时间显着减少，使得近距离目标难以检测；对于远程目标，效果则相反。

因此，这种方法必须在短程目标和远程目标之间做出折衷，当目标的往返延迟是切换周期的倍数时，接收信号功率为零，导致盲区，为避免这种现象，应选择开关频率fsf_sfs 为：

fs=c4Rmax⁡f_s=\frac{c}{4 R_{\max }}fs=4Rmaxc（4.17）

盲区RBR_BRB 位于：

RB=c∗k2fs,k=0,1,2,…R_B=\frac{c * k}{2 f_s}, \quad k=0,1,2, \ldotsRB=2fsc∗k,k=0,1,2,…（4.18）

FMCIW用于自动巡航控制(ACC)雷达，这是因为这些雷达传统上使用FMCW波形，这对于减少近距离杂波和最大限度地提高远程探测具有重要意义。

4.6 快速chirp斜坡序列波形（核心内容）

虽然FMCW是汽车雷达和其他应用中广泛使用的波形，但其主要缺点是在多目标环境中，需要对每个目标的速度和距离进行耦合，这被称为解耦合。

不正确的解耦合可会导致目标位置或速度估计错误，为了避免这个问题，图8所示的快速chirp（啁啾）斜坡序列使得不需要解耦合就可以估计目标距离和速度。

(图8 用于距离和速度检测的快速啁啾斜坡序列波形示例)

距离和速度的获取过程采用2-DFT，首先对每一个啁啾斜坡进行一次DFT获取距离信息，然后再进行一次DFT获得速度信息，还可以根据接收啁啾斜坡序列的天线结构进一步计算角度信息，就可以构建三维目标数据，包括距离、速度和角度。

对于角度估计，可以使用Capon、MUSIC和ESPRIT等高分辨率算法。如图9所示，沿着啁啾采样点进行DFT可以得到每个啁啾的距离，而沿着DFT进行FFT可以得到速度。此外，通过使用例如MUSIC独立计算角度，可以得出到达方向估计值。最后，结果是3D数据立方体，由每个检测到的目标的距离、速度和到达角组成。

(图9 基于啁啾斜坡序列波形的三维数据立方体概念示意图)

如果快速啁啾斜坡序列从载波频率 fcf_cfc 扫过，即起始频率为fcf_cfc，则任何给定时刻 f(t)f(t)f(t) 的频率可以表示为:

f(t)=fc+BTt=fc+αtf(t)=f_c+\frac{B}{T} t=f_c+\alpha tf(t)=fc+TBt=fc+αt（4.19）

其中，BBB 为扫描带宽， TTT 为扫描持续时间，α=B/T\alpha=B / Tα=B/T 为调频斜率，如图8所示。由关系式可以得到对应的瞬时相位:

ω(t)=dφ(t)dt=2πf(t)\omega(t)=\frac{d \varphi(t)}{\mathrm{d} t}=2 \pi f(t)ω(t)=dtdφ(t)=2πf(t)（4.20）

其中，φ(t)=∫0t2πf(t)dt=2π(fct+α2t2)+φ0,φ0\varphi(t)=\int_0^t 2 \pi f(t) \mathrm{d} t=2 \pi\left(f_c t+\frac{\alpha}{2} t^2\right)+\varphi_0, \varphi_0φ(t)=∫0t2πf(t)dt=2π(fct+2αt2)+φ0,φ0 代表初始相位。

故而，发射信号可以表示为：

s(t)=Acos⁡(2π(fct+α2t2)+φ0)s(t)=A \cos \left(2 \pi\left(f_c t+\frac{\alpha}{2} t^2\right)+\varphi_0\right)s(t)=Acos(2π(fct+2αt2)+φ0)（4.21）

在不考虑初始相位的情况下，发射的第 mmm 个chirp的一般表达式如下:

s(t)=Acos⁡(2πfct+πα2(t−mT)2)s(t)=A \cos \left(2 \pi f_c t+\frac{\pi \alpha}{2}(t-m T)^2\right)s(t)=Acos(2πfct+2πα(t−mT)2)（4.22）

对于距离为R，距离雷达径向速度为vvv 的目标，反射chirp信号的往返延迟时间 τ\tauτ 为：

τ=2(R+vt)c\tau=\frac{2(R+v t)}{c}τ=c2(R+vt)（4.23）

接收到的 r(t)r(t)r(t) 延迟chirp信号变为：

r(t)=Bcos⁡(2πfc(t−τ)+πα2(t−τ−mT)2)r(t)=B \cos \left(2 \pi f_c(t-\tau)+\frac{\pi \alpha}{2}(t-\tau-m T)^2\right)r(t)=Bcos(2πfc(t−τ)+2πα(t−τ−mT)2)（4.24）

假设发射和接收的啁啾信号的振幅 AAA 归一化，我们得到：

s(t)=cos⁡(2πfct+πα2(t−mT)2)s(t)=\cos \left(2 \pi f_c t+\frac{\pi \alpha}{2}(t-m T)^2\right)s(t)=cos(2πfct+2πα(t−mT)2)
r(t)=cos⁡(2πfc(t−τ)+πα2(t−τ−mT)2)r(t)=\cos \left(2 \pi f_c(t-\tau)+\frac{\pi \alpha}{2}(t-\tau-m T)^2\right)r(t)=cos(2πfc(t−τ)+2πα(t−τ−mT)2)（4.25）

将发射信号和接收信号通过混频器和低通滤波器，得到g(t)表示为

g(t)=s(t)r(t)=cos⁡(2πfct+πα2(t−mT)2)cos⁡g(t)=s(t) r(t)=\cos \left(2 \pi f_c t+\frac{\pi \alpha}{2}(t-m T)^2\right) \cosg(t)=s(t)r(t)=cos(2πfct+2πα(t−mT)2)cos
(2πfc(t−τ)+πα2(t−τ−mT)2)\left(2 \pi f_c(t-\tau)+\frac{\pi \alpha}{2}(t-\tau-m T)^2\right)(2πfc(t−τ)+2πα(t−τ−mT)2)（4.26）

用三角恒等式 cos⁡(x)cos⁡(y)=1/2(cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y))\cos (x) \cos (y)=1 / 2(\cos (x+y)+\cos (x-y))cos(x)cos(y)=1/2(cos(x+y)+cos(x−y)) ，高频分量 SSS 经过低通滤波器过滤，我们得到:

g(t)≅12cos⁡(2πfcτ+2πατ(t−mT)−πατ2)g(t) \cong \frac{1}{2} \cos \left(2 \pi f_c \tau+2 \pi \alpha \tau(t-m T)-\pi \alpha \tau^2\right)g(t)≅21cos(2πfcτ+2πατ(t−mT)−πατ2)（4.27）

将 τ\tauτ 代入得到：

g(t)=12cos⁡(2πfc(2(R+vt)c)+2πα(2(R+vt)(t−mT)c)−πα(2(R+vt)c)2)g(t)=\frac{1}{2} \cos \left(2 \pi f_c\left(\frac{2(R+v t)}{c}\right)+2 \pi \alpha\left(\frac{2(R+v t)(t-m T)}{c}\right)-\pi \alpha\left(\frac{2(R+v t)}{c}\right)^2\right)g(t)=21cos(2πfc(c2(R+vt))+2πα(c2(R+vt)(t−mT))−πα(c2(R+vt))2)（4.28）

因为 c2≫(R+vt)2c^2 \gg(R+v t)^2c2≫(R+vt)2 ，所以第三项可以忽略不计，则混频器和低通滤波器输出结果为：

g(t)=12cos⁡(2πfc(2(R+vt)c)+2πα(2(R+vt)(t−mT)c))g(t)=\frac{1}{2} \cos \left(2 \pi f_c\left(\frac{2(R+v t)}{c}\right)+2 \pi \alpha\left(\frac{2(R+v t)(t-m T)}{c}\right)\right)g(t)=21cos(2πfc(c2(R+vt))+2πα(c2(R+vt)(t−mT)))
g(t)=12cos⁡(2π(2Rfcc+2fcvtc)+2πα(2(Rt−RmT+vt2−mvtT)c))g(t)=\frac{1}{2} \cos \left(2 \pi\left(\frac{2 R f_c}{c}+\frac{2 f_c v t}{c}\right)+2 \pi \alpha\left(\frac{2\left(R t-R m T+v t^2-m v t T\right)}{c}\right)\right)g(t)=21cos(2π(c2Rfc+c2fcvt)+2πα(c2(Rt−RmT+vt2−mvtT)))
g(t)=12cos⁡(2π(2Rfcc+2fcvtc+(2Rαt−2RαmT+2αvt2−2mαvtT)c))g(t)=\frac{1}{2} \cos \left(2 \pi\left(\frac{2 R f_c}{c}+\frac{2 f_c v t}{c}+\frac{\left(2 R \alpha t-2 R \alpha m T+2 \alpha v t^2-2 m \alpha v t T\right)}{c}\right)\right)g(t)=21cos(2π(c2Rfc+c2fcvt+c(2Rαt−2RαmT+2αvt2−2mαvtT)))(4.29)

考虑到 tst_sts 是从第 mmm 个chirp开始的时间，我们可以写为：

t=ts+mT,0≤t0≤Tt=t_s+m T, 0 \leq t_0 \leq Tt=ts+mT,0≤t0≤T（4.30）

将上述表达式 (4.30) 代入 g(t)g(t)g(t) 得到：

g(ts)=12cos⁡(2π(2Rfcc+2fcv(ts+mT)c+(2Rα(ts+mT)−2RαmT+2αv(ts+mT)2−2mαv(ts+mT)T)c)))g(ts)=12cos⁡(2π(2Rfcc+2fcv(ts+mT)c+(2Rα(ts+mT)−2RαmT+2αv(ts2+2mtsT+m2T2)−2mαv(ts+mT)T)c))\begin{aligned} g\left(t_s\right)=& \frac{1}{2} \cos \left(2 \pi\left(\frac{2 R f_c}{c}+\frac{2 f_c v\left(t_s+m T\right)}{c}\right.\right.\\ &\left.\left.\left.+\frac{\left(2 R \alpha\left(t_s+m T\right)-2 R \alpha m T+2 \alpha v\left(t_s+m T\right)^2-2 m \alpha v\left(t_s+m T\right) T\right)}{c}\right)\right)\right) \\ g\left(t_s\right)=& \frac{1}{2} \cos \left(2 \pi\left(\frac{2 R f_c}{c}+\frac{2 f_c v\left(t_s+m T\right)}{c}\right.\right.\\ &\left.\left.+\frac{\left(2 R \alpha\left(t_s+m T\right)-2 R \alpha m T+2 \alpha v\left(t_s^2+2 m t_s T+m^2 T^2\right)-2 m \alpha v\left(t_s+m T\right) T\right)}{c}\right)\right) \end{aligned}g(ts)=g(ts)=21cos(2π(c2Rfc+c2fcv(ts+mT)+c(2Rα(ts+mT)−2RαmT+2αv(ts+mT)2−2mαv(ts+mT)T)⎠⎞⎠⎞⎠⎞21cos(2π(c2Rfc+c2fcv(ts+mT)+c(2Rα(ts+mT)−2RαmT+2αv(ts2+2mtsT+m2T2)−2mαv(ts+mT)T)))（4.31）

通过假设二阶项可以忽略不计，g(ts)g\left(t_s\right)g(ts) 可以近似为:

g(ts)=12cos⁡(2π(2Rfcc+2vmTfcc+(2Rα+2vfc+2mBv)tsc))g\left(t_s\right)=\frac{1}{2} \cos \left(2 \pi\left(\frac{2 R f_c}{c}+\frac{2 v m T f_c}{c}+\frac{\left(2 R \alpha+2 v f_c+2 m B v\right) t_s}{c}\right)\right)g(ts)=21cos(2π(c2Rfc+c2vmTfc+c(2Rα+2vfc+2mBv)ts))（4.32）

其中，B=αTB=\alpha TB=αT 。假设目标缓慢移动并且第一项对应于恒定相位，g(ts)g\left(t_s\right)g(ts) 可简洁地表示为：

g(ts)=12cos⁡(2π(mTfd+fpkts))g\left(t_s\right)=\frac{1}{2} \cos \left(2 \pi\left(m T f_d+f_{p k} t_s\right)\right)g(ts)=21cos(2π(mTfd+fpkts))（4.33）

其中，fpk=(2Rα+2vfc+2mBv)c=(2Rα)c+fd+(2mBv)c=fbeat +fd+fm.\begin{aligned} f_{p k} &=\frac{\left(2 R \alpha+2 v f_c+2 m B v\right)}{c}=\frac{(2 R \alpha)}{c}+f_d+\frac{(2 m B v)}{c} \\ &=f_{\text {beat }}+f_d+f_m . \end{aligned}fpk=c(2Rα+2vfc+2mBv)=c(2Rα)+fd+c(2mBv)=fbeat +fd+fm. 。

fbeat f_{\text {beat }}fbeat 是由发射和接收信号之间的时间延迟引入的拍频，fmf_mfm 是在扫描期间由于目标运动而产生的频率分量，通常被认为可以忽略不计。对于快速chirp斜坡，斜坡之间的多普勒频移通常被认为可以忽略不计。因此距离可以从拍频表示为：

fbeat =(2Rα)cR=cfbeat 2α\begin{aligned} f_{\text {beat }} &=\frac{(2 R \alpha)}{c} \\ R &=\frac{c f_{\text {beat }}}{2 \alpha} \end{aligned}fbeat R=c(2Rα)=2αcfbeat （4.34）

通过考虑fd+fmf_d+f_mfd+fm分量可以提高距离精度，距离是通过对拍频信号 g(ts)g\left(t_s\right)g(ts) 进行 FFT 来计算的，其中每个chirp的频率峰值近似对应于fbeat f_{\text {beat }}fbeat 。

利用时移性质，g(ts)g\left(t_s\right)g(ts) 的傅里叶变换由下式给出:

G(f)=14(ei2πmTfd)δ(f−fbeat )+14(e−i2πmTfd)δ(f+fbeat )G(f)=\frac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{i 2 \pi m T f_d}\right) \delta\left(f-f_{\text {beat }}\right)+\frac{1}{4}\left(\mathrm{e}^{-i 2 \pi m T f_d}\right) \delta\left(f+f_{\text {beat }}\right)G(f)=41(ei2πmTfd)δ(f−fbeat )+41(e−i2πmTfd)δ(f+fbeat )(4.35)

4.6.1 距离分辨率和最大探测距离

距离分辨率只与chirp的带宽B有关，可以表示为：

ΔR=c2B\Delta R=\frac{c}{2 B}ΔR=2Bc（4.36）

如果用 NNN（2的幂次）个实数点来计算FFT，那么可以计算的最大距离为：

Rmax⁡=(N2)∗ΔR=cN4BR_{\max }=\left(\frac{N}{2}\right) * \Delta R=\frac{c N}{4 B}Rmax=(2N)∗ΔR=4BcN（4.37）

然而，绝对最大距离取决于chirp，由 cT/2c T / 2cT/2 决定，与 FFT 样本无关。

例如，给定 4 GHz 的扫描带宽 BWB WBW ，可实现的距离分辨率可计算如下：

ΔR=c2B=3×1082×4×109=0.0375[m]\Delta R=\frac{c}{2 B}=\frac{3 \times 10^8}{2 \times 4 \times 10^9}=0.0375[\mathrm{~m}]ΔR=2Bc=2×4×1093×108=0.0375[ m]

(表 4.1 给出了典型的 BW 值和相应的距离分辨率值)

4.6.2 速度分辨率和最大速度

根据奈奎斯特定理，最大多普勒频率取决于chirp周期T，由下式给出:

fdmax⁡=12Tf_{d \max }=\frac{1}{2 T}fdmax=2T1（3.38）

从多普勒频率的定义出发，给出了相应的最大速度：
fdmax⁡=12T=2fcvmax⁡cf_{d \max }=\frac{1}{2 T}=\frac{2 f_c v \max }{c} fdmax=2T1=c2fcvmax
(4.39)
其中， vmax⁡=c2T∗2fc=c4fcTv_{\max }=\frac{c}{2 T * 2 f_c}=\frac{c}{4 f_c T}vmax=2T∗2fcc=4fcTc 。

如果单次扫描总共有 MMM 个chirp，则多普勒分辨率为 fd=1/MTf_d=1 / M Tfd=1/MT ，则速度分辨率 vvv 由下式给出:

Δv=Δv=c2fc∗1MT=c2fcMT\Delta v=\Delta v=\frac{c}{2 f_c} * \frac{1}{M T}=\frac{c}{2 f_c M T}Δv=Δv=2fcc∗MT1=2fcMTc（4.40）

增加chirp的数量可以提高速度分辨率，假设单次扫描产生64个chirp，中心频率79 GHz，速 40μs40 \mu s40μs 的chirp周期分辨率为:

Δv=3×1082∗79×109∗64∗40×10−6=2.23[ms]\Delta v=\frac{3 \times 10^8}{2 * 79 \times 10^9 * 64 * 40 \times 10^{-6}}=2.23\left[\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right]Δv=2∗79×109∗64∗40×10−63×108=2.23[sm]