读书笔记 | 自动驾驶中的雷达信号处理（第2章雷达方程）

本文编辑：调皮哥的小助理

2.1 介绍

本文主要介绍雷达方程，这有助于理解传播损耗对雷达发射信号的影响。本期的内容都很简单，通俗易懂，即使有存在不易理解的，我会额外加以注释，总而言之，会站在一个初学者的角度去看待问题，从而更加利于读者理解。

续接上文：读书笔记 | 自动驾驶中的雷达信号处理（第1章雷达系统基础）

2.2 雷达性能要求

在大多数雷达应用中，雷达系统的设计应满足特定的性能要求。这些要求包括最大距离、距离分辨率、最大速度、速度分辨率、角度覆盖范围以及其他要求。同理，雷达应用于汽车也需要满足特定的性能要求，其中，基本性能特征由雷达方程决定的。

2.3 雷达方程

天线充当雷达系统和电磁波传播介质之间的接口，雷达方程给出了发射信号功率、接收信号功率、反射目标距离、反射目标特性和天线特性之间的关系，可以表示为:

Pr=PtGtGrλ2σs(4π)3R4=PtGtAeσs(4π)2R4P_{\mathrm{r}}=\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{r}} \lambda^2 \sigma_{\mathrm{s}}}{(4 \pi)^3 R^4}=\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{t}} A_{\mathrm{e}} \sigma_{\mathrm{s}}}{(4 \pi)^2 R^4}Pr=(4π)3R4PtGtGrλ2σs=(4π)2R4PtGtAeσs（2.1）

其中，PrP_rPr 是接收信号功率， PtP_tPt 是发射信号功率。天线特性由发射增益 GtG_tGt 和接收增益 GrG_rGr 表示。参数 Ae=Grλ2/4πA_e=G_r \lambda^2 / 4 \piAe=Grλ2/4π 是接收天线的有效孔径。反射物体在距离 RRR 处的特征用 σS\sigma_SσS 表示，称为雷达截面（RCS）。 RCS 是衡量目标在雷达接收机方向上反射雷达信号的能力的指标，一般是很难估计。 λ\lambdaλ 表示发射的电磁信号波长，对于任何给定的雷达系统都可以认为是恒定的，因为电磁波的波长只和电磁波的频率有关。

上述雷达方程用距离 RRR 可以表示为:

R=PtGtAθσsPr(4π)24R=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{t}} A_\theta \sigma_{\mathrm{s}}}{P_{\mathrm{r}}(4 \pi)^2}}R=4Pr(4π)2PtGtAθσs（2.2）

由上式可知，其他变量不变的情况下，雷达的最大探测距离与发射功率的四次方根成正比，这个结论非常重要，一定要记住。通过考虑与信号接收相关的损耗，可以估计出最大可探测范围。为了扩大雷达系统的覆盖范围，由于发射功率不能任意增加，功率太高一是不节能，二是根据能量越低越稳定的原则，我们不易于控制高功率装置，因此需要较高的接收机灵敏度实现对回波信号的接收。

进一步简化式(2.1)，可以认为发射增益和接收增益相等且不变。由于 λ\lambdaλ 是恒定的，影响接收功率的主要变量成为发射功率、距离和雷达截面（RCS）。此外，如果接收机的最小可探测功率 Smin⁡S_{\min }Smin 用来定义雷达方程，式(2.2)可表示为

R=PtGtAeσsSmin⁡(4π)24R=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{t}} A_{\mathrm{e}} \sigma_{\mathrm{s}}}{S_{\min }(4 \pi)^2}}R=4Smin(4π)2PtGtAeσs（2.3）

2.4 损耗的影响

传播损耗的影响可以纳入到雷达方程中，使其更接近实际情况下的期望。最小接收功率可以用信噪比表示为:

Smin⁡=kT0BFn∗SNRS_{\min }=k T_0 B F_{\mathrm{n}} * \mathrm{SNR}Smin=kT0BFn∗SNR（2.4）

参数 kT0Bk T_0 BkT0B为理想欧姆导体的热噪声， kkk 为玻尔兹曼常数 (1.38064852(79)×10−23J/K)\left(1.38064852(79) \times 10^{-23} J / K\right)(1.38064852(79)×10−23J/K) , T0T_0T0为标准温度/绝对温度 (290K)(290 K)(290K) ，BBB 为接收机带宽(Hz)或有效噪声带宽。 FnF_nFn 是噪声系数，解释了非理想接收机电路引入的非线性特点。噪声值是一个无量纲值，定义为接收机输入与输出信噪比之比。此外,系统用 LLL 表示的损耗可以并入雷达方程，得到新的表达式如下：

R=PtGtAeσskT0BFn∗SNR⁡(4π)2L4R=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{t}} A_{\mathrm{e}} \sigma_{\mathrm{s}}}{k T_0 B F_{\mathrm{n}} * \operatorname{SNR}(4 \pi)^2 L}}R=4kT0BFn∗SNR(4π)2LPtGtAeσs（2.5）

此外，考虑脉冲积累和雷达信号传播损耗的因素也可以添加到雷达方程中，但就我们的目的而言，公式(2.5)足以说明损耗对最大可探测距离的影响。

根据雷达的功能要求，雷达方程具有很多不同的形式，因此可以微调为其他特定的应用，例如用于监视雷达和雷达干扰机。

在大多数应用中，天线增益、波长和噪声系数等关键雷达参数保持不变。考虑到感兴趣的目标（例如固定距离的车辆），我们可以轻松确定对发射功率的要求，以便将可检测范围加倍，将可检测范围加倍使系统或驾驶员有足够的时间在避免碰撞的情况下做出反应。该距离与传输功率的四次方成正比，即 R∝4PtR \propto 4 \sqrt{P_t}R∝4Pt 。为了使检测范围加倍，这将转化为 2R∝2Pt4=16Pt42 R \propto 2 \sqrt[4]{P_{\mathrm{t}}}=\sqrt[4]{16 P_{\mathrm{t}}}2R∝24Pt=416Pt , 其他一切保持不变，将可检测距离加倍需要将发射功率提高 16 倍。

由于上述原因，简单地提高发射功率会极大地限制系统要求，因此，采用结合复信号处理技术的创新雷达设计来扩展雷达传感器的测距能力，实信号的傅里叶变换频谱对称，因此只能用一半的频谱，牺牲了一半的探测距离。

关于雷达采用复基带架构的一些分析，可以在TI的技术文章中找到，下面是翻译好的链接：

调皮连续波：FMCW雷达系统中的复基带架构（中英文翻译对照）

2.5汽车应用雷达方程

在汽车应用中，雷达方程被用来计算最大可探测距离，不过存在一个困难就是RCS的估计，由于汽车目标的形状、大小和纹理的不同，因此我们无法准确估计汽车的RCS。

根据ITU（国际电信联盟），对于工作在77.5-78 GHz频段的汽车雷达，以米为单位的探测距离可以表示为：

R=PtGA2λ2σtgSmin⁡(4π)34R=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{A}}^2 \lambda^2 \sigma_{\mathrm{tg}}}{S_{\min }(4 \pi)^3}}R=4Smin(4π)3PtGA2λ2σtg（2.6）

上述公式是假设发射增益和接收增益相等。其中 PtP_tPt 发射机功率(W)，GAG_AGA 天线增益，σtg\sigma_{t g}σtg 有效目标面积，等于 1m21 m^21m2 ， λ\lambdaλ 是波长，等于 3.859×10−3m3.859 \times 10^{-3} m3.859×10−3m 在77.75 GHz, Smin⁡S_{\min }Smin为接收机灵敏度(W)。

考虑地球大气中无线电波的衰减 LatmL_{a t m}Latm ，目标探测距离 RatmR_{a t m}Ratm 可由下式给出：

Ratm=PtGA2λ2σSmin⁡(4π)3Latm4R_{\mathrm{atm}}=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{A}}^2 \lambda^2 \sigma}{S_{\min }(4 \pi)^3 L_{\mathrm{atm}}}}Ratm=4Smin(4π)3LatmPtGA2λ2σ（2.7）

无线电波在地球大气中的衰减一般包括大气气体(氧气和水蒸气)中的衰减，以及雾或雨中的衰减。研究分析表明，大气气体和降雨对无线电波的衰减最大，尤其是自动驾驶车载毫米波雷达在下雨天收到雨水的影响。因此，为了估计无线电波在大气中的衰减距离，LatmL_{a t m}Latm (dB)需要确定。

衰减由下面的公式表示:

Latm=Ratm∗(γg+γR)L_{\mathrm{atm}}=R_{\mathrm{atm}} *\left(\gamma_{\mathrm{g}}+\gamma_{\mathrm{R}}\right)Latm=Ratm∗(γg+γR)（2.8）

其中 γg\gamma_gγg 是大气气体引起的特定衰减（dB/km），γR\gamma_RγR 是雨水引起的特定衰减（dB/km），RatmR_{a t m}Ratm 是考虑到无线电波在地球大气中衰减的探测距离。

大气衰减通常由压力 ( (Patm=1013hPa)\left(P_{a t m}=1013 h P a\right)(Patm=1013hPa) )、温度 (Tatm=15∘C)\left(T_{a t m}=15^{\circ} C\right)(Tatm=15∘C) 、水蒸气密度 ( ρ=7.5g/m3\rho=7.5 \mathrm{~g} / \mathrm{m}^3ρ=7.5 g/m3 ) 和降雨强度 (R = 5、10、15 、20、25 和 30 mm/h）等典型的大气条件确定。

在这些条件下，77.75 GHz 处氧气引起的特定衰减估计为 0.088 dB/km，水蒸气引起的特定衰减为 0.286 dB/km，总比衰减 γg+γR=0.374dB/km\gamma_g+\gamma_R=0.374 d B / \mathrm{km}γg+γR=0.374dB/km 。然而，在实际运行情况下，条件远非理想，应该会出现偏差。

关于上述这部分内容，其实在【雷达技术交流群】中讨论过，下雨天雨水对自动驾驶雷达的影响，更加深入的内容，可以检索相关的文献资料深入研究。

尽管上述分析是有效的，但更常见的是考虑整体系统损耗 LsL_sLs ，其中包括极化损耗、大气传播损耗和天线方向图损耗等。在这种情况下，最大探测距离可以表示为：

Rmax⁡=PtGA2λ2σsSmin⁡(4π)3LS4R_{\max }=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{A}}^2 \lambda^2 \sigma_{\mathrm{s}}}{S_{\min }(4 \pi)^3 L_{\mathrm{S}}}}Rmax=4Smin(4π)3LSPtGA2λ2σs（2.9）

或者，我们可以将式(2.5)重写为式(2.9)的形式：

Rmax⁡=PtGA2λ2σskT0BFn∗SNR⁡min⁡(4π)3Ls4R_{\max }=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{A}}^2 \lambda^2 \sigma_{\mathrm{s}}}{k T_0 B F_{\mathrm{n}} * \operatorname{SNR}_{\min }(4 \pi)^3 L_{\mathrm{s}}}}Rmax=4kT0BFn∗SNRmin(4π)3LsPtGA2λ2σs（2.10）

如果系统带宽是根据相干处理时间定义的，那么我们可以写出等式 (2.10) 为:

Rmax⁡=PtGA2σsλ2TcpikT0Fn∗SNRmin⁡(4π)3Ls4R_{\max }=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{t}} G_{\mathrm{A}}^2 \sigma_{\mathrm{s}} \lambda^2 T_{\mathrm{cpi}}}{k T_0 F_{\mathrm{n}} * \mathrm{SNR}_{\min }(4 \pi)^3 L_{\mathrm{s}}}}Rmax=4kT0Fn∗SNRmin(4π)3LsPtGA2σsλ2Tcpi（2.11）

其中 SNRmin⁡S N R_{\min }SNRmin 是对应于最小接收功率的最小 SNRS N RSNR 。对于大多数汽车应用，76-81 GHz 频段内的典型雷达参数如表 2.1所示。

表2.1汽车雷达典型参数

这个表格可以解答为什么好多雷达的功率都是12dBm，主要是国际和国家法规的约束。

作为讨论的附加说明，在实践中使用分贝（dB）比使用物理单位更方便，因为所有操作都可以通过简单的加法和减法来完成，而不是乘法。为此，可以将式(2.7)重新排列为:

10∗log⁡10(Smin⁡)=10∗[(Pt)+log⁡10(GA2)+log⁡10(σs)+log⁡10(λ2)−log⁡10(Ls)−log⁡10((4π)3)−log⁡10(Rmax⁡4)]Smin⁡[dB]=Pt[dB]+GA[dB]+σs[dB]+λ[dB]−Ls[dB]−Cnst⁡[dB]−R[dB]\begin{aligned} 10 * \log _{10}\left(S_{\min }\right)=10 \quad & *\left[\left(P_{\mathrm{t}}\right)+\log _{10}\left(G_{\mathrm{A}}^2\right)+\log _{10}\left(\sigma_s\right)+\log _{10}\left(\lambda^2\right)\right.\\ &\left.-\log _{10}\left(L_{\mathrm{s}}\right)-\log _{10}\left((4 \pi)^3\right)-\log _{10}\left(R_{\max }^4\right)\right] \\ S_{\min }[\mathrm{dB}]=& P_{\mathrm{t}}[\mathrm{dB}]+G_{\mathrm{A}}[\mathrm{dB}]+\sigma_{\mathrm{s}}[\mathrm{dB}]+\lambda[\mathrm{dB}] \\ &-L_{\mathrm{s}}[\mathrm{dB}]-\operatorname{Cnst}[\mathrm{dB}]-R[\mathrm{~dB}] \end{aligned}10∗log10(Smin)=10Smin[dB]=∗[(Pt)+log10(GA2)+log10(σs)+log10(λ2)−log10(Ls)−log10((4π)3)−log10(Rmax4)]Pt[dB]+GA[dB]+σs[dB]+λ[dB]−Ls[dB]−Cnst[dB]−R[ dB]

其中 GA[dB]=10∗log⁡10(GA2)G_A[d B]=10 * \log _{10}\left(G_A^2\right)GA[dB]=10∗log10(GA2) 是增益项，λ[dB]=10∗log⁡10(λ2)\lambda[d B]=10 * \log _{10}\left(\lambda^2\right)λ[dB]=10∗log10(λ2) 是波长项，Cnst[dB]=10∗log⁡10((4π)3C_{n s t}[d B]=10 * \log _{10}\left((4 \pi)^3\right.Cnst[dB]=10∗log10((4π)3 和 R[dB]=10∗log⁡10(Rmax⁡4)R[d B]=10 * \log _{10}\left(R_{\max }^4\right)R[dB]=10∗log10(Rmax4) 和 R[dB]=10∗log⁡10(Rmax⁡4)R[d B]=10 * \log _{10}\left(R_{\max }^4\right)R[dB]=10∗log10(Rmax4) 是与距离和波长相关的项，所有形式的雷达方程都可以这样做。图 1 说明了汽车雷达距离检测原理。

（图1 雷达距离探测示意图）

例如，让我们考虑一个 76–81 GHz 频段的汽车雷达传感器，其波长等于 3.859×10−3m3.859 \times 10^{-3} \mathrm{~m}3.859×10−3 m，发射功率为 12 dBm，发射器/接收器天线增益为 12 dBi，最小 SNR 为 -20 dB ，系统损耗为 3 dB，噪声系数为 16 dB，带宽为 1 GHz。假设被跟踪的目标是一辆雷达横截面为 10m210 m^210m2 的乘用车，无损失和有损失时的最大范围可以估计如下:

(1)没有损失

R[dB]=Pt[dB]+GA[dB]+σtg[dB]+λ[dB]R[\mathrm{~dB}]=P_{\mathrm{t}}[\mathrm{dB}]+G_{\mathrm{A}}[\mathrm{dB}]+\sigma_{\mathrm{tg}}[\mathrm{dB}]+\lambda[\mathrm{dB}]R[ dB]=Pt[dB]+GA[dB]+σtg[dB]+λ[dB]
−kTB[dB]−Cnst[dB]−Fn[dB]−Smin⁡[dB]-\mathrm{kTB}[\mathrm{dB}]-\mathrm{Cnst}[\mathrm{dB}]-F_{\mathrm{n}}[\mathrm{dB}]-S_{\min }[\mathrm{dB}]−kTB[dB]−Cnst[dB]−Fn[dB]−Smin[dB]
Rλ[dB]=(12−30)[dB]+2∗12[dB]+10[dB]+(−48.272[dB])R_\lambda[\mathrm{dB}]=(12-30)[\mathrm{dB}]+2 * 12[\mathrm{~dB}]+10[\mathrm{~dB}]+(-48.272[\mathrm{~dB}])Rλ[dB]=(12−30)[dB]+2∗12[ dB]+10[ dB]+(−48.272[ dB])
−(−143.975)[dB]−32.976[dB]−(16[dB])−(−20)[dB]-(-143.975)[\mathrm{dB}]-32.976[\mathrm{~dB}]-(16[\mathrm{~dB}])-(-20)[\mathrm{dB}]−(−143.975)[dB]−32.976[ dB]−(16[ dB])−(−20)[dB]
=82.727[dB]=82.727[\mathrm{~dB}]=82.727[ dB]
Rmax⁡4=1082.727/10=187,383,347.2R_{\max }^4=10^{82.727 / 10}=187,383,347.2Rmax4=1082.727/10=187,383,347.2
Rmax⁡=116.999[m]R_{\max }=116.999[\mathrm{~m}]Rmax=116.999[ m]

（2）有损失

R[dB]=Pt[dB]+GA[dB]+σtg[dB]+λ[dB]−Ls[dB]R[\mathrm{~dB}]=P_{\mathrm{t}}[\mathrm{dB}]+G_{\mathrm{A}}[\mathrm{dB}]+\sigma_{\mathrm{tg}}[\mathrm{dB}]+\lambda[\mathrm{dB}]-L_{\mathrm{s}}[\mathrm{dB}]R[ dB]=Pt[dB]+GA[dB]+σtg[dB]+λ[dB]−Ls[dB]
−kTB[dB]−Cnst[dB]−Fn[dB]−Smin⁡[dB]-\mathrm{kTB}[\mathrm{dB}]-\mathrm{Cnst}[\mathrm{dB}]-\mathrm{F}_{\mathrm{n}}[\mathrm{dB}]-S_{\min }[\mathrm{dB}]−kTB[dB]−Cnst[dB]−Fn[dB]−Smin[dB]
Rλ[dB]=(12−30)[dB]+2∗12[dB]+10[dB]+(−48.272[dB])−3[dB]R_\lambda[\mathrm{dB}]=(12-30)[\mathrm{dB}]+2 * 12[\mathrm{~dB}]+10[\mathrm{~dB}]+(-48.272[\mathrm{~dB}])-3[\mathrm{~dB}]Rλ[dB]=(12−30)[dB]+2∗12[ dB]+10[ dB]+(−48.272[ dB])−3[ dB]
−(−143.975)[dB]−32.976[dB]−(16[dB])−(−20)[dB]-(-143.975)[\mathrm{dB}]-32.976[\mathrm{~dB}]-(16[\mathrm{~dB}])-(-20)[\mathrm{dB}]−(−143.975)[dB]−32.976[ dB]−(16[ dB])−(−20)[dB]
=79.727[dB]=79.727[\mathrm{~dB}]=79.727[ dB]
Rmax⁡4=1079.727/10=93,914,141.4R_{\max }^4=10^{79.727 / 10}=93,914,141.4Rmax4=1079.727/10=93,914,141.4
Rmax⁡=98.443[m]R_{\max }=98.443[\mathrm{~m}]Rmax=98.443[ m]

损耗的影响是降低可检测的最大范围，因此雷达参数对雷达传感器的距离覆盖起着至关重要的作用，在设计时需要格外注意。