一、什么是时间复杂度

二、时间复杂度的计算

单个循环体的推导法则

多重循环体的推导法则

多个时间复杂度的推导法则

条件语句的推导法则

习题练习

一、基础题

二、进阶题

三、再次进阶

一、什么是时间复杂度

算法复杂度

算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。其作用： 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

时间复杂度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度，记为T(n)。

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f (n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

注：一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。

二、时间复杂度的计算

我们假设计算机运行一行基础代码需要执行一次运算，那么下边这个方法需要执行 2 次运算

int aFunc(void) {printf("Hello, World!\n");      // 需要执行 1 次return 0;                       // 需要执行 1 次
}

另看一个例子：

int aFunc(int n) {for(int i = 0; i<n; i++) {         // 需要执行 (n + 1) 次printf("Hello, World!\n");     // 需要执行 n 次}return 0;                          // 需要执行 1 次
}

这个方法需要 (n + 1 + n + 1) = 2n + 2 次运算。

我们把算法需要执行的运算次数用输入大小n 的函数表示，即 T(n) 。

那么当我们拿到算法的执行次数函数 T(n) 之后怎么得到算法的时间复杂度呢？

1、我们知道常数项对函数的增长速度影响并不大，所以当 T(n) = c，c 为一个常数的时候，我们说这个算法的时间复杂度为 O(1)；如果 T(n) 不等于一个常数项时，直接将常数项省略。

比如：
第一个 Hello World 的例子中 T(n) = 2，所以我们说那个函数(算法)的时间复杂度为 O(1)。
T(n) = n + 29，此时时间复杂度为 O(n)。

2、我们知道高次项对于函数的增长速度的影响是最大的。n^3 的增长速度是远超 n^2 的，同时 n^2 的增长速度是远超 n 的。同时因为要求的精度不高，所以我们直接忽略低此项。

比如:
T(n) = n^3 + n^2 + 29，此时时间复杂度为 O(n^3)。

3、因为函数的阶数对函数的增长速度的影响是最显著的，所以我们忽略与最高阶相乘的常数。

比如：
T(n) = 3n^3，此时时间复杂度为 O(n^3)。

综合起来：如果一个算法的执行次数是 T(n)，那么只保留最高次项，同时忽略最高项的系数后得到函数 f(n)，此时算法的时间复杂度就是 O(f(n))。为了方便描述，下文称此为大O推导法。

由此可见，由执行次数 T(n) 得到时间复杂度并不困难，很多时候困难的是从算法通过分析和数学运算得到 T(n)。对此，提供下列四个便利的法则，这些法则都是可以简单推导出来的，总结出来以便提高效率。

单个循环体的推导法则

对于一个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，循环次数为 m，则这个循环的时间复杂度为 O(n×m)。

void aFunc(int n) {for(int i = 0; i < n; i++) {         // 循环次数为 nprintf("Hello, World!\n");       // 循环体时间复杂度为 O(1)}
}

此时时间复杂度为 O(n × 1)，即 O(n)。

多重循环体的推导法则

对于多个循环，假设循环体的时间复杂度为 O(n)，各个循环的循环次数分别是a, b, c...，则这个循环的时间复杂度为O(n×a×b×c...)。分析的时候应该由里向外分析这些循环。

void aFunc(int n) {for(int i = 0; i < n; i++) {            // 循环次数为 nfor(int j = 0; j < n; j++) {        // 循环次数为 nprintf("Hello, World!\n");      // 循环体时间复杂度为 O(1)}}
}

此时时间复杂度为 O(n × n × 1)，即 O(n^2)。

多个时间复杂度的推导法则

对于顺序执行的语句或者算法，总的时间复杂度等于其中最大的时间复杂度。

void aFunc(int n) {// 第一部分时间复杂度为 O(n^2)for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = 0; j < n; j++) {printf("Hello, World!\n");}}// 第二部分时间复杂度为 O(n)for(int j = 0; j < n; j++) {printf("Hello, World!\n");}
}

此时时间复杂度为 max(O(n^2)，O(n))，即 O(n^2)。

条件语句的推导法则

对于条件判断语句，总的时间复杂度等于其中时间复杂度最大的路径的时间复杂度。

void aFunc(int n) {if (n >= 0) {// 第一条路径时间复杂度为 O(n^2)for(int i = 0; i < n; i++) {for(int j = 0; j < n; j++) {printf("输入数据大于等于零\n");}}} else {// 第二条路径时间复杂度为 O(n)for(int j = 0; j < n; j++) {printf("输入数据小于零\n");}}
}

此时时间复杂度为 max(O(n^2), O(n))，即 O(n^2)。

时间复杂度分析的基本策略是：从内向外分析，从最深层开始分析。如果遇到函数调用，要深入函数进行分析。

习题练习

一、基础题

求该方法的时间复杂度

void aFunc(int n) {for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i; j < n; j++) {printf("Hello World\n");}}
}

参考答案：
当 i = 0 时，内循环执行 n 次运算，当 i = 1 时，内循环执行 n - 1 次运算……当 i = n - 1 时，内循环执行 1 次运算。
所以，执行次数 T(n) = n + (n - 1) + (n - 2)……+ 1 = n(n + 1) / 2 = n^2 / 2 + n / 2。
根据上文说的大O推导法可以知道，此时时间复杂度为 O(n^2)。

二、进阶题

求该方法的时间复杂度

void aFunc(int n) {for (int i = 2; i < n; i++) {i *= 2;printf("%i\n", i);}
}

参考答案：
假设循环次数为 t，则循环条件满足 2^t < n。
可以得出，执行次数t = log(2)(n)，即 T(n) = log(2)(n)，可见时间复杂度为 O(log(2)(n))，即 O(log n)。

三、再次进阶

求该方法的时间复杂度

long aFunc(int n) {if (n <= 1) {return 1;} else {return aFunc(n - 1) + aFunc(n - 2);}
}

参考答案：
显然运行次数，T(0) = T(1) = 1，同时 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1，这里的 1 是其中的加法算一次执行。
显然 T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) 是一个斐波那契数列，通过归纳证明法可以证明，当 n >= 1 时 T(n) < (5/3)^n，同时当 n > 4 时 T(n) >= (3/2)^n。
所以该方法的时间复杂度可以表示为 O((5/3)^n)，简化后为 O(2^n)。

文章参考：https://www.jianshu.com/p/f4cca5ce055a

十分钟搞定时间复杂度（算法的时间复杂度）相关推荐

JeecgBoot 单体升级微服务快速方案（十分钟搞定）
JeecgBoot 单体升级微服务方案(十分钟搞定) 当前系统分为system.demo 等模块,现有需求把每个模块单独启动作为微服务应用,故而推出新版boot[20200812beta],支持快速切 ...
逗号后面统一加空格_十分钟搞定字幕，教你做加字幕的“快手菜”
平台上许多同学有疑问:做视频是否有加字幕的必要呢? 其实除了外语需要翻译.语速过快加字幕方便理解.普通话不标准等情况之外,还是建议有余力的同学可以加上字幕,提升用户的观看体验. 那么问题来了,存在以下 ...
全网最简单的C# json数据解析无敌菜鸟教程十分钟搞定json数据解析
全网最简单的C# json数据解析无敌菜鸟教程十分钟搞定json数据解析废话先说一点,算了.直接进入正题吧. 用例子说话: JSON数据: string json: " {" ...
JAVA微信企业付款到零钱(十分钟搞定)，附完整DEMO下载
最近帮朋友做了一个简单的微分销系统,实现从企业付款到零钱分润的功能,简单记录一下微信提现功能开发的流程, 主要就是按规则封装好请求参数调用微信接口,涉及一些签名校验: A.接口流程获取用户OPENI ...
java 分组报表_【Java】分组报表怎么做，积木报表十分钟搞定！
首页专栏 java 文章详情 0 分组报表怎么做,积木报表十分钟搞定! scott发布于今天 12:24 报表需求某大型超市需要做一张年度区域销售统计报表展示2019和2020年度各地区每月的 ...
java零钱换整程序_JAVA微信企业付款到零钱(十分钟搞定)，
JAVA微信企业付款到零钱(十分钟搞定), 最近帮朋友做了一个简单的微分销系统,实现从企业付款到零钱分润的功能,简单记录一下微信企业付款到零钱的开发过程, 主要就是按规则封装好请求参数调用微信接口,涉 ...
mfc远程连接mysql数据库连接_MFC连接mysql数据库（十分钟搞定）
最近要做一个大作业,需要用到数据库,sql server装了两次都失败,遂弃暗投明,用mysql,虽然我从来没有接触过,数据库么,一通百通的,5分钟就熟悉了.问题的关键是要用MFC连接mysql数据库 ...
支付宝上线新功能：去这个国家入境十分钟搞定！
11月15日,作为"新马泰"旅游胜地的泰国是出国旅游热度最高的几个国家之一.据统计,2018年中国游客赴泰旅游突破了1054万人,比2017年上升了7.4%.2018年赴泰旅游的中 ...
poi实现excel上传下载亲自实践教你十分钟搞定
今天要实现一个上传excel的功能,之前写过很多次,但是都没有详细整理过,今天整理下,方便以后直接拿来拷贝首先从前台来看,看了很多案例,基本两种方法:一种是form表单提交,一种是异步ajax方式. ...

十分钟搞定时间复杂度（算法的时间复杂度）

一、什么是时间复杂度

二、时间复杂度的计算

单个循环体的推导法则

多重循环体的推导法则

多个时间复杂度的推导法则

条件语句的推导法则

习题练习

一、基础题

二、进阶题

三、再次进阶

十分钟搞定时间复杂度（算法的时间复杂度）相关推荐

最新文章

热门文章