• Holt指数平滑

可以对水平项和趋势项（斜率）的时序进行拟合，时刻 t 的观测值可表示为

拟合出来的结果

a、平滑参数α(alpha)控制水平的指数型下降，beta控制斜率的指数型下降

b、两个参数的有效范围都是[0,1]，参数取值越大意味着越近的观测值的权重越大

• Holt-Winters指数平滑

拟合有水平项、趋势项、季节项的时间序列

a、st代表时刻 t 的季节效应

b、除了alpha和beta参数外，gamma光滑参数控制季节项指数下降，取值范围同样为[0,1]，gamma值越大，意味着越近的观测值的季节效应权重越大

例

对季节性分解中描述每月国家航线乘客数AirPassengers时序进行预测

1、首选需要对原始数据取对数，使它满足可加模型

2、然后使用Holt-Winters指数平滑来预测 AirPassengers接下来的5个值

> library(forecast)
> fit <- ets(log(AirPassengers),model="AAA") #AAA表示拟合水平项、斜率、季节项
> fit
ETS(A,A,A) Call:ets(y = log(AirPassengers), model = "AAA") Smoothing parameters:alpha = 0.6534 beta  = 1e-04 gamma = 1e-04 Initial states:l = 4.8022 b = 0.01 s=-0.1047 -0.2186 -0.0761 0.0636 0.2083 0.2170.1145 -0.011 -0.0111 0.0196 -0.1111 -0.0905sigma:  0.0359AIC      AICc       BIC
-208.3619 -203.5047 -157.8750 > accuracy(fit)ME       RMSE        MAE         MPE     MAPE      MASE       ACF1
Training set -0.0006710596 0.03592072 0.02773886 -0.01250262 0.508256 0.2291672 0.09431354> pred <- forecast(fit,5)  #进行预测
> predPoint Forecast    Lo 80    Hi 80    Lo 95    Hi 95
Jan 1961       6.103667 6.057633 6.149701 6.033264 6.174070
Feb 1961       6.093102 6.038110 6.148093 6.008999 6.177204
Mar 1961       6.233814 6.171130 6.296498 6.137947 6.329681
Apr 1961       6.213130 6.143597 6.282662 6.106789 6.319470
May 1961       6.223273 6.147507 6.299039 6.107399 6.339148#绘制折线图
> plot(pred, main="Forecast for Air Travel",
+      ylab="Log(AirPassengers)", xlab="Time")> pred$mean <- exp(pred$mean)                       #矩阵pred$mean 包含了点估计值
> pred$lower <- exp(pred$lower)                     #矩阵pred$lower 和 pred$ upper包含了80%和95%置信区间的下界以及上界
> pred$upper <- exp(pred$upper)                     #exp()指数化：将返回基于原始尺度的预测值（将对数的返回来）
> p <- cbind(pred$mean,pred$lower,pred$upper)
> dimnames(p)[[2]] <- c("mean", "Lo 80", "Lo 95", "Hi 80", "Hi 95") #给列命名
> pmean    Lo 80    Lo 95    Hi 80    Hi 95
Jan 1961 447.4958 427.3626 417.0741 468.5774 480.1365
Feb 1961 442.7926 419.1001 407.0756 467.8245 481.6434
Mar 1961 509.6958 478.7268 463.1019 542.6682 560.9776
Apr 1961 499.2613 465.7258 448.8949 535.2116 555.2788
May 1961 504.3514 467.5503 449.1688 544.0491 566.3135