从三点共线到四点共面

2024-06-07 12:39:42

前言

请注意其中的类比思维的学习方式。

三点共线

初中使用，距离表示形式：\(|AB|+|BC|=|AC|\)
高中使用，斜率表示形式:\(k_{AB}=k_{AC}\)
高中使用向量表示形式：\(\overrightarrow{OC}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB}\) 或\(\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}\)

四点共面

任意两点的连线平行或者相交，

比如线段\(AC\)和线段\(BD\)相交或者平行，则可知点\(A，B，C，D\)四点共面。

点共面的问题，可以转化为向量共面的问题，

要证明\(P、A、B、C\)四点共面，只要能证明\(\overrightarrow{PA}=x\overrightarrow{PB}+y\overrightarrow{PC}\)，

或者对空间任意一点\(O\)，有\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OP}+x\overrightarrow{PB}+y\overrightarrow{PC}\)

或者\(\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\)，其中\(x+y+z=1\)。

例1如图所示，在空间四边形\(ABCD\)中，点\(E\)，\(H\)分别是边\(AB\)，\(AD\)的中点，点\(F\)，\(G\)分别是边\(BC\)，\(CD\)上的点，且\(\cfrac{CF}{CB}=\cfrac{CG}{CD}=\cfrac{2}{3}\)，则下列说法正确的是【】

①\(EF\)与\(GH\)平行；②\(EF\)与\(GH\)异面；
③\(EF\)与\(GH\)的交点\(M\)可能在直线\(AC\)上，也可能不在直线\(AC\)上；④\(EF\)与\(GH\)的交点\(M\)一定在直线\(AC\)上；

$A.①④$ $B.④$ $C.①③$ $D.②$

分析：连接\(EH\)，\(FG\)，由题意可知，\(EH//BD\)，\(FG//BD\)，故\(EH//FG\)，且有\(EF\)和\(GH\)不平行，故四边形\(EFGH\)为梯形，所以\(E,F,G,H\)四点共面。故①②错误；

延长\(FE\)和\(GH\)必然交予一点，两线的交点一定在平面在\(ACD\)上，延长\(FE\)和\(CA\)必然交予一点，两线的交点一定在平面\(ACB\)上，

故两线的交点一定在平面\(ACD\)和平面\(ACB\)的交线\(AC\)上，故③错误；故选\(B\)；

另解：[动态观点]设想线段\(FG\)平行移动[和\(BD\)平行]，当\(FG\)缩减为点\(C\)时，说明④正确，当\(FG\)扩充为线段\(BD\)时，也说明④正确，故①②③错误，故选\(B\).

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11488713.html

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