Bresenham 画圆算法原理

文章目录

前言
Bresenham 画圆算法原理
- 两个近似
- 构造判别式
- 圆与网格点的关系
- - 关系由来
  - 关系含义
- pip_ipi 递推
- 画圆
- 程序伪码
圆与网格点的关系图示

前言

首先简要介绍一下生成圆的方法：

直接利用圆的方程生成圆
利用圆的对称性生成圆

方法一由于会涉及到浮点运算等因素，不采取该方案。
ps. 这部分想要知道为什么可以参考计算机图形学圆及椭圆的扫描转换_百度文库前面一点。
方法二的原理如下图，利用圆的对称性，我们只需要对一个八分圆进行扫描转换。

在这里我们不妨选择第一象限上斜率绝对值小于1的那八分圆进行扫描转换，以及假设圆心为 (0, 0) 。也就是下图。
友情提示：圆在某点的斜率是该点处切线斜率。圆心不在 (0, 0) 处的点可以通过平移得到。

Bresenham 画圆算法原理

如下图，在 0≤x≤y 的 1/8 圆周上，像素坐标 x 值单调增加，y 值单调减少。
设第 i 步已确定（xi,yi）（x_i, y_i）（xi,yi）是要画圆上的像素点，看第 i+1 步像素点（xi+1,yi+1）（x_{i+1}, y_{i+1}）（xi+1,yi+1）应如何确定。下一个像素点只能是H（xi+1,yi）H（x_i+1, y_i）H（xi+1,yi）或者D（xi+1,yi−1）D（x_i+1,y_i-1）D（xi+1,yi−1）中的一个。

具体选哪个就得看 dH和dDd_H 和 d_DdH和dD 二者的比较了：

dHd_HdH 更小，下一个像素点就选 H（xi+1,yi）H（x_i+1, y_i）H（xi+1,yi）
dDd_DdD 更小，下一个像素点就选 D（xi+1,yi−1）D（x_i+1,y_i-1）D（xi+1,yi−1）
一样大，选哪个都行。

比较方法就是做差：dH−dDd_H - d_DdH−dD，然后将结果与0进行比较。

那么问题是 dH和dDd_H 和 d_DdH和dD 二者的值是怎么求得呢？这里就涉及到一个近似：

两个近似

近似方法：
将 CH 近似为 dHd_HdH
将 DB 近似为 dDd_DdD

由大图显而易见可以知道 CH 和 DB 的值：
CH=OH−OC=(xi+1)2+yi2−R=dHCH = OH - OC = \sqrt{(x_i+1)^2 + y_i^2} - R = d_HCH=OH−OC=(xi+1)2+yi2−R=dH
DH=OB−OD=R−(xi+1)2+(yi−1)2=dDDH = OB - OD = R - \sqrt{(x_i+1)^2 + (y_i-1)^2} = d_DDH=OB−OD=R−(xi+1)2+(yi−1)2=dD

这里由于涉及到了根号运算，因此又做了一个近似：
dH=(xi+1)2+yi2−R2d_H = (x_i+1)^2 + y_i^2 - R^2dH=(xi+1)2+yi2−R2
dD=R2−(xi+1)2−(yi−1)2d_D = R^2 - (x_i+1)^2 - (y_i-1)^2dD=R2−(xi+1)2−(yi−1)2

构造判别式

我们不妨构造如下判别式
pi=dH−dDp_i = d_H - d_Dpi=dH−dD
=(xi+1)2+yi2−R2−(R2−(xi+1)2+(yi−1)2)\space\space\space\space= (x_i+1)^2 + y_i^2 - R^2 - (R^2 - (x_i+1)^2 + (y_i-1)^2) =(xi+1)2+yi2−R2−(R2−(xi+1)2+(yi−1)2)
=2(xi+1)2+2yi2−2yi−2R2+1\space\space\space\space= 2(x_i+1)^2 + 2y_i^2-2y_i\textcolor{red}{-2R^2+1} =2(xi+1)2+2yi2−2yi−2R2+1

圆与网格点的关系

关系由来

圆与网格点有且仅有上述5种关系，情况分别如上：

其中的BCEF均为该网格上的中点。

首先，我们得再次强调的一点是，在 0≤x≤y 的 1/8 圆周上的每点的斜率绝对值都小于1。即它们与 x 轴负方向的倾角都不能超过图中的 FE 线段。

由于，我们现在点亮的点是 P(xi,yi)P(x_i, y_i)P(xi,yi) ，所以圆与 x=1 的交点应该在 BF 之间。由于此段圆弧的斜率均小于1，因此圆与 x=2 的交点应该在 CE 之间，由此上上图中的 5 条圆弧都有了解释：
圆弧1：圆与 x=1 的交点在 BP 间，且该圆斜率变化很小（半径很大）
圆弧4，5：我个人认为是在接近 y=x 这条直线处的网格可以产生这种情况

关系含义

构造判别式：pi=dH−dDp_i = d_H-d_Dpi=dH−dD

精确圆弧是③，则dH>0和dD>0d_H >0和d_D>0dH>0和dD>0
若pi<0，即dH<dD应选H点若p_i<0，即d_H <d_D应选H点若pi<0，即dH<dD应选H点
若pi≥0，即dH≥dD应选D点若p_i≥0，即d_H ≥d_D应选D点若pi≥0，即dH≥dD应选D点
若精确圆弧是①或②，显然H是应选择点，而此时dH≤0，dD>0d_H ≤0，d_D>0dH≤0，dD>0，必有pi<0p_i<0pi<0。
若精确圆弧是④或⑤，显然D是应选择点，而此时dH>0，dD≤0d_H >0，d_D≤0dH>0，dD≤0，必有pi>0p_i>0pi>0。

得出结论：pip_ipi 做判别量，pi<0p_i<0pi<0 时，选H点为下一个像素点，pi≥0p_i≥0pi≥0 时，选D点为下一个像素点。

pip_ipi 递推

因为 pip_ipi 代表此次选择哪个点的判别式，如果我们知道下一次选点的判别式和其关系就可以节省很多思考。所以我们要从 pip_ipi 计算 pi+1p_{i+1}pi+1。
ps. 对 pi+1p_{i+1}pi+1 数学意义的解释：此次点亮的点我们称做(xi,yi)(x_i, y_i)(xi,yi)，下一次点亮的点我们就称做 (xi+1,yi+1)(x_{i+1}, y_{i+1})(xi+1,yi+1)。 xi+1x_{i+1}xi+1 的值和 xix_ixi 是有递推关系的（xi+1=xi+1x_{i+1}=x_i+1xi+1=xi+1 ，见关系由来下的图）。而此次我们将判断点亮哪个点的判别式记作 pip_ipi，类似的，下次判断点亮哪个点的判别式我们就记作 pi+1p_{i+1}pi+1
pi=dH−dDp_i = d_H - d_Dpi=dH−dD
=(xi+1)2+yi2−R2−(R2−(xi+1)2+(yi−1)2)\space\space\space\space= (x_i+1)^2 + y_i^2 - R^2 - (R^2 - (x_i+1)^2 + (y_i-1)^2) =(xi+1)2+yi2−R2−(R2−(xi+1)2+(yi−1)2)
=2(xi+1)2+2yi2−2yi−2R2+1\space\space\space\space= 2(x_i+1)^2 + 2y_i^2-2y_i\textcolor{red}{-2R^2+1} =2(xi+1)2+2yi2−2yi−2R2+1

pi+1=2(xi+1+1)2+2yi+12−2yi+1−2R2+1p_{i+1}=2(x_{i+1}+1)^2 + 2y_{i+1}^2-2y_{i+1}\textcolor{red}{-2R^2+1}pi+1=2(xi+1+1)2+2yi+12−2yi+1−2R2+1
pi+1−pi=4xi+6+2(yi+12−yi2−yi+1+yi)p_{i+1}-p_i=4x_i+6+2(y_{i+1}^2-y_i^2-y_{i+1}+y_i)pi+1−pi=4xi+6+2(yi+12−yi2−yi+1+yi)

当 pi≥0p_i≥0pi≥0 时，应选D点，此时 D 点的 y 坐标和 P 的 y 坐标的关系是 yi+1=yi−1y_{i+1} = y_i - 1yi+1=yi−1，带入上式有：
pi+1=pi+4(xi−yi)+10p_{i+1}=p_i+4(x_i-y_i)+10pi+1=pi+4(xi−yi)+10
当 pi<0p_i<0pi<0 时，应选H点，此时 H 点的 y 坐标和 P 的 y 坐标的关系是 yi+1=yiy_{i+1} = y_iyi+1=yi，带入上式有：
pi+1=pi+4xi+6p_{i+1}=p_i+4x_i+6pi+1=pi+4xi+6

画圆

画圆的起始点是(0, R)，即 x1=0,y1=Rx_1=0, y_1=Rx1=0,y1=R，带入前式。即令 i=1 ，就得到：
pi=3−2Rp_i=3-2Rpi=3−2R
剩下的递推就行。

程序伪码

void BresenhamCircle(int R){     int x,y,p;x=0;  y=R;p=3-2*R;for(;x<=y;x++){       SetPixel(x,y);if(p>=0){p+=4*(x-y)+10;y--;}else {p+=4*x+6;}}
}

根据对称性，只需修改语句 SetPixel(x,y)，画八个对称的点，就可以画出全部圆周。若加一个平移，就可以画出圆心在任意位置的圆周

圆与网格点的关系图示

情况一：x2+y2=10000x^2+y^2=10000x2+y2=10000
其中 142+992=999714^2+99^2=9997142+992=9997

情况五：x2+y2=10000x^2+y^2=10000x2+y2=10000，那条横线是 y=77.5
其中 652+762=1000165^2+76^2=10001652+762=10001

时间有限，姑且只画这俩。

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