【计算机图形学】中点画圆算法和Bresenham画圆算法

在平面解析几何中，圆的方程可以描述为(x – x₀)² + (y – y₀)² = R²，其中(x₀, y₀)是圆心坐标，R是圆的半径，特别的，当(x₀, y₀)就是坐标中心点时，圆方程可以简化为x² + y² = R²。在计算机图形学中，圆和直线一样，也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原点的圆的生成，对于中心不是原点的圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的圆。

在进行扫描转换之前，需要了解一个圆的特性，就是圆的八分对成性。如图（1）所示：

图（1）圆的八分对称性

圆心位于原点的圆有四条对称轴x = 0、y = 0、x = y和x = -y，若已知圆弧上一点P(x，y)，就可以得到其关于四条对称轴的七个对称点：（x, -y）、（-x, y）、（-x, -y）、（y, x）、（y, -x）、（-y, x）、（-y, -x），这种性质称为八分对称性。因此只要能画出八分之一的圆弧，就可以利用对称性的原理得到整个圆。

1、中点画圆法

考虑圆心在原点，半径为R的圆在第一象限内的八分之一圆弧，从点（0, R）到点（R' , R' ）顺时针方向确定这段圆弧。假定某点P_i(x_i, y_i)已经是该圆弧上最接近实际圆弧的点，那么Pi的下一个点只可能是正右方的P1或右下方的P2两者之一，如图（2）所示：

图（2）中点划线法示例

构造判别函数：

F(x, y）= x²+ y²– R²

当F(x, y）= 0，表示点在圆上，当F(x, y）> 0，表示点在圆外，当F(x, y）< 0，表示点在圆内。如果M是P₁和P₂的中点，则M的坐标是（x_i + 1, y_i – 0.5），当F（x_i + 1, y_i – 0.5）< 0时，M点在圆内，说明P₁点离实际圆弧更近，应该取P₁作为圆的下一个点。同理分析，当F（x_i + 1, y_i – 0.5）> 0时，P₂离实际圆弧更近，应取P₂作为下一个点。当F（x_i + 1, y_i – 0.5）= 0时，P₁和P₂都可以作为圆的下一个点，算法约定取P₂作为下一个点。

现在将M点坐标（x_i + 1, y_i – 0.5）带入判别函数F(x, y），得到判别式d：

d = F（x_i + 1, y_i – 0.5）= (x_i + 1)² + (y_i – 0.5)² – R²

若d < 0，则取P₁为下一个点，此时P₁的下一个点的判别式为：

d’ = F（x_i + 2, y_i – 0.5）= (x_i + 2)² + (y_i – 0.5)² – R²

展开后将d带入可得到判别式的递推关系：

d’ = d + 2x_i + 3

若d > 0，则取P₂为下一个点，此时P₂的下一个点的判别式为：

d’ = F（x_i + 2, y_i – 1.5）= (x_i + 2)² + (y_i – 1.5)² – R²

展开后将d带入可得到判别式的递推关系：

d’ = d + 2(x_i - y_i) + 5

特别的，在第一个象限的第一个点（0, R）时，可以推倒出判别式d的初始值d₀：

d₀ = F(1, R – 0.5) = 1 – (R – 0.5)² – R² = 1.25 - R

根据上面的分析，可以写出中点画圆法的算法。考虑到圆心不在原点的情况，需要对计算出来的坐标进行了平移，下面就是通用的中点画圆法的源代码：

26 void MP_Circle(int xc , int yc , int r)

27 {

28 int x, y;

29 double d;

31 x = 0;

32 y = r;

33 d = 1.25 - r;

34 CirclePlot(xc , yc , x , y);

35 while(x < y)

36 {

37 if(d < 0)

38 {

39 d = d + 2 * x + 3;

40 }

41 else

42 {

43 d = d + 2 * ( x - y ) + 5;

44 y--;

45 }

46 x++;

47 CirclePlot(xc , yc , x , y);

48 }

49 }

参数xc和yc是圆心坐标，r是半径，CirclePlot()函数是参照圆的八分对称性完成八个点的位置计算的辅助函数。

2、 改进的中点画圆法－Bresenham算法

中点画圆法中，计算判别式d使用了浮点运算，影响了圆的生成效率。如果能将判别式规约到整数运算，则可以简化计算，提高效率。于是人们针对中点画圆法进行了多种改进，其中一种方式是将d的初始值由1.25 – R改成1 – R，考虑到圆的半径R总是大于2，因此这个修改不会影响d的初始值的符号，同时可以避免浮点运算。还有一种方法是将d的计算放大两倍，同时将初始值改成3 – 2R，这样避免了浮点运算，乘二运算也可以用移位快速代替，采用3 – 2R为初始值的改进算法，又称为Bresenham算法：

52 void Bresenham_Circle(int xc , int yc , int r)

53 {

54 int x, y, d;

56 x = 0;

57 y = r;

58 d = 3 - 2 * r;

59 CirclePlot(xc , yc , x , y);

60 while(x < y)

61 {

62 if(d < 0)

63 {

64 d = d + 4 * x + 6;

65 }

66 else

67 {

68 d = d + 4 * ( x - y ) + 10;

69 y--;

70 }

71 x++;

72 CirclePlot(xc , yc , x , y);

73 }

74 }

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