Smart Thief 问题

问题：

实验室的老师发在群里的问题，不知道出处，下面给出一些自己的解答：

方法一：整数规划（只是想求一个结果）
建模：
将各房间看成一个变量Xi：X1，X2，…X12
权重为每个房间的profit：W[i]
目标：最大化所偷房间的权重和
限制条件：
X1+X2<=1,
X2+X3<=1,
…
X12+X1<=1
Xi属于{0,1}
（0,1）整数规划问题可以借助excel或其他的一些软件来解，这里采用excel：

方法2：动态规划

如图所示，从上至下，设共有n个房间，形成一个n个数的序列，i表示第i个房间，每个房间的profit为w[i]，Fi表示前i个数的最优收获，则对于第i个房间有两种可能，最优收获方案包括i或不包括i，当i<n时，前i个数中的第一个数和最后一个数不相邻，则有Fi=max（w[i]+F(i-2),F(i-1)）,当i=n时，情况有点特殊，即Fi=max（w[i]+F’(i-2),F[i-1]）,因为这时第n个数与第一个数实际上是相邻的，所以F’(i-2)实际上表示从第二个数开始到第i-2个数的最优方案，所以可以实现一个F函数从第一个数开始递推得到第i个数的最优方案，主函数调用两次该函数求最优，一次是求从第一个数到第n-1个数的最优解，第二次调用时第二个数到第n-2个数的最优解，然后将前者的值与后者加上w[n]的值进行对比。
F函数总是由前两个状态的值得到第三个状态的解，如果只需要求得最大利润，相当于O(N)的时间复杂度，如果需要求最优方案，则需要维护每次求得的子问题的最优方案的值。
下面给出了一个简单的C++代码，但是在维护最优方案值上不够高效，时间复杂度为O（N^2）
(后面想到一种方法，不需要像下面代码那样每次对前两个最优方案的数组进行拷贝，可以实现一个二维数组a[n][n],a[i][j]=0或1，表示第i个数在前j个数的最优方案中是否被包含)

#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iostream>using namespace std;//input:profit array,number of rooms;
//output:step[],maxprofit;//step[n] step[i]=0 0r 1, means choose to steal or not respectivelyint Max_profit_range(vector<int> profit,vector<int> &step)  //attain the maximum profit and the stepof the input profit array{int n = profit.size();int k1 = profit[0]; int k2,k3;if (n == 1)    //n为1的特殊情况{step[0] = 0;return profit[0];}vector<int> s1(n);vector<int> s2(n);vector<int> s3(n);int maxprofit = 0;s1[0] = 1;if (profit[0] >= profit[1]){ s2[0] = 1; s2[1] = 0;k2 = profit[0];}else {s2[0] = 0;s2[1] = 1;k2 = profit[1];}for (int i = 2; i < n; i++)   {if (profit[i] + k1 >= k2)  //逐渐向后递推，由前两个状态的值得到第三个状态的值{s1[i] = 1;k3 = profit[i] + k1;s3 = s1;}else{k3 = k2;s3 = s2;}k1 = k2;k2 = k3;s1 = s2;s2 = s3;}step =s2;return k3;}void Max_profit(vector<int> profit){int n = profit.size();int max_profit=0,step;if (n <= 3){for (int i = 0; i < n; i++){if (max_profit < profit[i]){max_profit = profit[i];step = i;}}cout << "the maximum profit is: " << max_profit << endl;cout << "the step is:" << step+1 << ":" << profit[step] << endl;return;}auto it1 = profit.begin();auto it2 = profit.end();vector<int> profit1(it1 + 1, it2 - 2);vector<int> profit2(it1, it2 - 1);vector<int> step1(n,0),step2(n,0),step3(n,0);int k1, k2; k1=profit[n-1]+Max_profit_range(profit1, step1);k2=Max_profit_range(profit2, step2);  //调用两次函数，将结果进行对比if (k1>=k2){cout << "the maximum profit is " << k1 << endl;cout << "the step is:" << endl;step3.insert(step3.begin()+1,step1.begin(),step1.end());step3[0] = 1;}else{cout << "the maximum profit is " << k2 << endl;cout << "the step is:" << endl;step3=step2;step3.insert(step3.end(), 0);}for (int i = 0; i < n; i++){if (step3[i] == 1)cout << i+1 << ":" << profit[i] << endl;}}int main()
{vector<int> profit{ 89, 55, 37, 6, 64, 99, 11, 23, 76, 4, 65, 9};Max_profit(profit);system("PAUSE");return 0;
}

结果输出

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