关键字：SVD、奇异值分解、降维、基于协同过滤的推荐引擎
作者：米仓山下
时间：2018-11-3
机器学习实战（Machine Learning in Action,@author: Peter Harrington）
源码下载地址：https://www.manning.com/books/machine-learning-in-action
https://github.com/pbharrin/machinelearninginaction

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奇异值分解(Singular Value Decomposition，简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域，是很多机器学习算法的基石。

SVD应用：SVD在数据压缩（如PCA）、于降维算法中的特征分解、推荐算法、潜在语义索引（LSI）等领域都有着广泛的应用

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一、奇异值分解(SVD)原理

SVD分解与PCA有都可以实现降维，在pca中Ax=λx，如果我们求出了矩阵A的n个特征值λ1≤λ2≤...≤λn,以及这n个特征值所对应的特征向量{w1,w2,...wn}，，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：A=WΣW−1。进行特征分解，矩阵A必须为方阵；如果A不是方阵，即行和列不相同时，可以使用SVD。SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：A=UΣV^T，其中U是一个m×m，的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足U^TU=I,V^TV=I。

<1>主成分分析通过对原始数据线性变化，最大化协方差矩阵，使在新的空间内数据的方差最大化（能量集中），特征值分解，对是针对数据列的降维。
<2>SVD分解是非方正条件下对数据进行奇异值分解。左奇异矩阵可以用于行数的压缩，右奇异矩阵可以用于列数即特征维度的压缩。

与PCA相比，SVD也可以得到协方差矩阵X^TX最大的d个特征向量张成的矩阵，但是SVD有个好处，有一些SVD的实现算法可以不求先求出协方差矩阵X^TX，也能求出我们的右奇异矩阵V。也就是说，我们的PCA算法可以不用做特征分解，而是做SVD来完成。这个方法在样本量很大的时候很有效。实际上，scikit-learn的PCA算法的背后真正的实现就是用的SVD，而不是我们我们认为的暴力特征分解。在现在的大数据时代，由于SVD可以实现并行化，因此更是大展身手。

PCA的原理及数学推倒可以看【PCA】，SVD的原理和理解看【SVD】
（微信公众号的有些基础文章质量真的是比论坛博客的质量高）

书中对隐形语义的讲解感觉很突兀，我的理解是：其实可以理解为将将一个语义空间去进行分析处理。如在文中餐馆的例子，进行奇异值分解就是：V^T矩阵会将用户映射到BBQ/日式食品空间去。U矩阵会将餐馆的菜映射到BBQ/日式食品空间去。自然语言中的奇异值分解形成“概念”后面再慢慢学习

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二、基于协同过滤的推荐引擎

首先需要说明，推荐引擎有很多方法，协同过滤只是众多场景下的一种，如有基于内容推荐、协同过滤、关联规则（Apriori算法、FPgrowth算法）、混合推荐等。

基于协同过滤的推荐引擎原理：协同过滤（collaborative filtering）是通过将用户和其他用户的数据进行对比来实现推荐的。利用相似物品，基于相似度加权平均求得未评价物品的预测评分，求得未评价物品预测评分的前N高，以此作为推荐项。

SVD（奇异值分解）在协同过滤推荐引擎中的作用是利用U对行数据降维，以解决矩阵稀疏问题，去除了噪声和冗余信息。SVD的作用是：实现了降维，将数据映射/压缩到某个隐形空间，SVD来减少特征空间并提高推荐的效果。可以将奇异值想象成一个新空间。这二维分别是什么呢？能告诉我们数据的什么信息？这二维分别对应图中给出的两个组，右图中已经标示出了其中的一个组。可基于每个组的共同特征来命名这二维，比如得到的美式BBQ和日式食品这二维。

书中首先讲了计算相似度的三种方法，包括欧氏距离、皮尔逊相关系数、余弦相似度。书中计算的是各种餐馆之间的相似度。

接着，就可以利用相似度便可以基于协同过滤进行推荐了，在用户没有评级的所有物品中，对每个物品预计一个可能的评级分数。这就是说，我们认为用户可能对物品的打分（这就是相似度计算的初衷），对这些物品的评分从高到底进行排序，返回前N个物品。

最后，利用SVD提高推荐的效果，解决数据矩阵稀疏问题，并且可以去燥。将用户映射到BBQ/日式食品空间，然后再计算餐馆之间的相似度，加权求为评价商品的得分。

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三、基于SVD的图像压缩

奇异值分解能够有效的降低数据的维数，图片为例，从450维降到149维后，还保留了90%的信息

原理：
使用SVD来对数据降维，从而实现图像的压缩。在协同过滤推荐引擎中仅使用SVD的左奇异矩阵U，在图像压缩中不仅用到了U还用到了V。一张二维n*m的灰度图片可以看做是n*m的矩阵，利用SVD可以实现对二维图像的压缩。

书中采用了二值化o-1矩阵，对数据进行了SVD压缩，仅保留前两个奇异值的信息，然后采用一个阈值还是把矩阵还原为一个0-1矩阵。（灰度图片和RGB图片的SVD分解下一节介绍）

注意：虽然奇异值分解很有效，但是不能滥用，一般情况下要求降维后信息的损失度不能超过5%，甚至是1%

书中源码
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参考文献：

刘建平-奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用：https://mp.weixin.qq.com/s/Z0ZkQlZDKUSJEWVq7Vi6Cg  & https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html

读书笔记（3） | SVD算法及应用 ：https://mp.weixin.qq.com/s/EOmViXqvcIiN2cx5RtHSBg

机器学习实战 第十四章 利用SVD简化数据：https://blog.csdn.net/namelessml/article/details/52987113

机器学习中的数学(5)-强大的矩阵奇异值分解(SVD)及其应用：http://www.cnblogs.com/LeftNotEasy/archive/2011/01/19/svd-and-applications.html