1.算法描述

使用Euclid算法编写递归函数求两个正整数A.B的最大公约数（GCD,Greatest Common Divisor):

如果A能整除B,则最大公约数是B.
否则，最大公约数等于B和A%B的最大公约数。

2.算法证明

Euclid算法用公式可以表示为：
GCD(A,B)=GCD(B,A%B)GCD(A,B)=GCD(B,A\%B)GCD(A,B)=GCD(B,A%B)
首先我们先弄清楚几个基本概念：

对于整数 A,B，若存在整数 k,使得A=B∗kA=B*kA=B∗k，则称B被A整除。
若A无法整除B，则A=B∗n+RA=B*n+RA=B∗n+R（R为余数）。

下面进行证明：
假设存在一个整数x，x是A和B的公约数，则：

A=a∗xA=a*xA=a∗x
B=b∗xB=b*xB=b∗x

那么就可以得到：

A=B∗n+RA=B*n+RA=B∗n+R
a∗x=b∗x∗n+Ra*x=b*x*n+Ra∗x=b∗x∗n+R (R为余数，n为A/B的整数结果）
R=a∗x−b∗x∗nR=a*x-b*x*nR=a∗x−b∗x∗n

提取公因式：

R=x∗(a−b∗n)R=x*(a-b*n)R=x∗(a−b∗n)

得到结论，x不仅是A,B的公约数，也是R的公约数，所以GCD(A,B)=GCD(B,A%B)GCD(A,B)=GCD(B,A\%B)GCD(A,B)=GCD(B,A%B)成立。

数字A和B的最大公约数会等于数字B和之前余数（R）的最大公约数，且以此类推：
那我们用GCD公式实验一下：
GCD (4851, 840) = GCD (840, 651) 4851 / 840 = 5(余651)
GCD (840, 651) = GCD (651, 189) 840 / 651 = 1(余189)
GCD (651, 189) = GCD (189, 84) 651 / 189 = 3(余84)
GCD (189, 84) = GCD (84, 21) 189 /84 = 2(余21)
GCD (84, 21) = 21 84/21 = 4(余0)
结果：4851，840的最大公约数是21。

3.算法代码

代码如下：

#include<stdio.h>
// Euclid 递归函数
int GCD(int A,int B){//base caseif(A%B == 0)return B;//elsereturn GCD(B,A%B);
}int main(void){printf("4851和840的最大公约数是%d\n",GCD(4851,840));return 0;
}

结果如下：

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