讲解Python在线性代数中的应用，包括：

一、矩阵创建

先导入Numpy模块，在下文中均采用np代替numpy

1 import numpy as np

矩阵创建有两种方法，一是使用np.mat函数或者np.matrix函数，二是使用数组代替矩阵，实际上官方文档建议我们使用二维数组代替矩阵来进行矩阵运算；因为二维数组用得较多，而且基本可取代矩阵。

1 >>> a = np.mat([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) #使用mat函数创建一个2X3矩阵

2 >>>a3 matrix([[1, 2, 3],4 [4, 5, 6]])5 >>> b = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])#np.mat和np.matrix等价

6 >>>b7 matrix([[1, 2, 3],8 [4, 5, 6]])9 >>> a.shape #使用shape属性可以获取矩阵的大小

10 (2, 3)

1 >>> c = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) #使用二维数组代替矩阵，常见的操作通用

2 >>> c#注意c是array类型，而a是matrix类型

3 array([[1, 2, 3],4 [4, 5, 6]])

单位阵的创建

1 >>> I = np.eye(3)2 >>>I3 array([[ 1., 0., 0.],4 [ 0., 1., 0.],5 [ 0., 0., 1.]])

矩阵元素的存取操作：

1 >>> a[0]#获取矩阵的某一行

2 matrix([[1, 2, 3]])3 >>> a[:, 0].reshape(-1, 1)#获取矩阵的某一列

4 matrix([[1],5 [4]])6 >>> a[0, 1]#获取矩阵某个元素

7 2

二、矩阵乘法和加法

矩阵类型，在满足乘法规则的条件下可以直接相乘

1 >>> A = np.mat([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])#使用mat函数

2 >>> B = np.mat([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])3 >>> A #注意A, B都是matrix类型，可以使用乘号，如果是array则不可以直接使用乘号

4 matrix([[1, 2, 3],5 [3, 4, 5],6 [6, 7, 8]])7 >>>B8 matrix([[5, 4, 2],9 [1, 7, 9],10 [0, 4, 5]])11 >>> A * B#学过线性代数的都知道：A * B != B * A

12 matrix([[ 7, 30, 35],13 [ 19, 60, 67],14 [ 37, 105, 115]])15 >>> B *A16 matrix([[ 29, 40, 51],17 [ 76, 93, 110],18 [ 42, 51, 60]])

如果是使用数组代替矩阵进行运算则不可以直接使用乘号，应使用dot()函数。dot函数用于矩阵乘法，对于二维数组，它计算的是矩阵乘积，对于一维数组，它计算的是内积。

1 >>> C = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])2 >>> D = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])3 >>> C #C, D都是array类型，不能直接使用乘号，应该使用dot()函数

4 array([[1, 2, 3],5 [3, 4, 5],6 [6, 7, 8]])7 >>>D8 array([[5, 4, 2],9 [1, 7, 9],10 [0, 4, 5]])11 #>>> C * D, Error, 注意这不是矩阵乘法！！！

12 >>> np.dot(C, D)#正确的写法，得到的结果和上一段代码的第11行的结果的一样的。

13 array([[ 7, 30, 35],14 [ 19, 60, 67],15 [ 37, 105, 115]])

如何理解对于一维数组，它计算的是内积？？？

注意：在线性代数里面讲的维数和数组的维数不同，如线代中提到的n维行向量在Python中是一维数组，而线代中的n维列向量在Python中是一个shape为(n, 1)的二维数组！

第16行，第18行：F是一维数组，G是二维数组，维数不同，个人认为相乘没有意义，但是16行没有错误，18行报错。关于dot()的乘法规则见：NumPy-快速处理数据--矩阵运算

1 >>> E = np.array([1, 2, 3])2 >>> F = np.array([4, 3, 9])3 >>> E.shape#E,F都是一维数组

4 (3,)5 >>>np.dot(E, F)6 37

7 >>>np.dot(F, E)8 37

9 >>> G = np.array([4, 3, 9]).reshape(-1, 1)10 >>>G11 array([[4],12 [3],13 [9]])14 >>> G.shape

15 (3, 1)16 >>> np.dot(F, G)#因此dot(F, G)不再是内积，而是一个只有一个元素的数组

17 array([106])18 >>> np.dot(G, F)#ValueError: shapes (3,1) and (3,) not aligned: 1 (dim 1) != 3 (dim 0)

19 >>> E.shape = (1, -1)#把E改为二维数组

20 >>>E21 array([[1, 2, 3]])22 >>>E.shape23 (1, 3)24 >>> np.dot(G, E)#3×1的G向量乘以1×3的E向量会得到3×3的矩阵

25 array([[ 4, 8, 12],26 [ 3, 6, 9],27 [ 9, 18, 27]])

矩阵的加法运算

1 >>> A + B#矩阵的加法对matrix类型和array类型是通用的

2 matrix([[ 6, 6, 5],3 [ 4, 11, 14],4 [ 6, 11, 13]])5 >>> C +D6 array([[ 6, 6, 5],7 [ 4, 11, 14],8 [ 6, 11, 13]])

矩阵的数乘运算

1 >>> 2 * A#矩阵的数乘对matrix类型和array类型是通用的

2 matrix([[ 2, 4, 6],3 [ 6, 8, 10],4 [12, 14, 16]])5 >>> 2 *C6 array([[ 2, 4, 6],7 [ 6, 8, 10],8 [12, 14, 16]])

三、矩阵的转置

1 >>> A = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])2 >>> B = np.array([[5, 4, 2], [1, 7, 9], [0, 4, 5]])3 >>>A4 array([[1, 2, 3],5 [3, 4, 5],6 [6, 7, 8]])7 >>> A.T #A的转置

8 array([[1, 3, 6],9 [2, 4, 7],10 [3, 5, 8]])11 >>> A.T.T#A的转置的转置还是A本身

12 array([[1, 2, 3],13 [3, 4, 5],14 [6, 7, 8]])

验证矩阵转置的性质：(A±B)'=A'±B'

1 >>> (A +B).T2 array([[ 6, 4, 6],3 [ 6, 11, 11],4 [ 5, 14, 13]])5 >>> A.T +B.T6 array([[ 6, 4, 6],7 [ 6, 11, 11],8 [ 5, 14, 13]])

验证矩阵转置的性质：(KA)'=KA'

1 >>> 10 *(A.T)2 array([[10, 30, 60],3 [20, 40, 70],4 [30, 50, 80]])5 >>> (10 *A).T6 array([[10, 30, 60],7 [20, 40, 70],8 [30, 50, 80]])

验证矩阵转置的性质：(A×B)'= B'×A'

1 >>>np.dot(A, B).T2 array([[ 7, 19, 37],3 [ 30, 60, 105],4 [ 35, 67, 115]])5 >>>np.dot(B.T, A.T)6 array([[ 7, 19, 37],7 [ 30, 60, 105],8 [ 35, 67, 115]])

四、方阵的迹

方阵的迹就是主对角元素之和，使用trace()函数获得方阵的迹：

1 >>>A2 array([[1, 2, 3],3 [3, 4, 5],4 [6, 7, 8]])5 >>>B6 array([[5, 4, 2],7 [1, 7, 9],8 [0, 4, 5]])9 >>> np.trace(A) #A的迹等于A.T的迹

10 13

11 >>>np.trace(A.T)12 13

13 >>> np.trace(A+B)#和的迹 等于 迹的和

14 30

15 >>> np.trace(A) +np.trace(B)16 30

五、计算行列式

1 >>>A2 array([[1, 2],3 [1, 3]])4 >>>np.linalg.det(A)5 1.0

六、逆矩阵/伴随矩阵

若A存在逆矩阵(满足det(A) != 0，或者A满秩)，使用linalg.inv求得方阵A的逆矩阵

1 importnumpy as np2 >>> A = np.array([[1, -2, 1], [0, 2, -1], [1, 1, -2]])3 >>>A4 array([[ 1, -2, 1],5 [ 0, 2, -1],6 [ 1, 1, -2]])7 >>> A_det = np.linalg.det(A) #求A的行列式，不为零则存在逆矩阵

8 >>>A_det9 -3.0000000000000004

10 >>> A_inverse = np.linalg.inv(A) #求A的逆矩阵

11 >>>A_inverse12 array([[ 1. , 1. , 0. ],13 [ 0.33333333, 1. , -0.33333333],14 [ 0.66666667, 1. , -0.66666667]])15 >>> np.dot(A, A_inverse) #A与其逆矩阵的乘积为单位阵

16 array([[ 1., 0., 0.],17 [ 0., 1., 0.],18 [ 0., 0., 1.]])19 >>> A_companion = A_inverse * A_det #求A的伴随矩阵

20 >>>A_companion21 array([[-3., -3., -0.],22 [-1., -3., 1.],23 [-2., -3., 2.]])

七、解一元线性方程

使用np.linalg.solve()解一元线性方程组，待解方程为：

x + 2y + z = 72x- y + 3z = 73x+ y + 2z =18

1 >>> importnumpy as np2 >>> A = np.array([[1, 2, 1], [2, -1, 3], [3, 1, 2]])3 >>> A #系数矩阵

4 array([[ 1, 2, 1],5 [ 2, -1, 3],6 [ 3, 1, 2]])7 >>> B = np.array([7, 7, 18])8 >>>B9 array([ 7, 7, 18])10 >>> x =np.linalg.solve(A, B)11 >>>x12 array([ 7., 1., -2.])13 >>> np.dot(A, x)#检验正确性，结果为B

14 array([ 7., 7., 18.])

使用np.allclose()检测两个矩阵是否相同：

1 >>> np.allclose(np.dot(A, x), B)#检验正确性

2 True

使用 help(np.allclose) 查看 allclose() 的用法：

allclose(a, b, rtol=1e-05, atol=1e-08)

Parameters----------a, b : array_like

Input arrays to compare.

rtol : float

The relative tolerance parameter (see Notes).

atol : float

The absolute tolerance parameter (see Notes).

Returns-------allclose : bool

Returns Trueifthe two arrays are equal within the given

tolerance; False otherwise.

八、计算矩阵距离

矩阵的距离，这里是的是欧几里得距离，其他距离表示方法我们以后再谈，这里说一下如何计算两个形状相同矩阵之间的距离。

1 >>> A = np.array([[0, 1], [1, 0]])#先创建两个矩阵

2 >>> B = np.array([[1, 1], [1, 1]])3 >>> C = A - B #计算距离矩阵C

4 >>>C5 array([[-1, 0],6 [ 0, -1]])7 >>> D = np.dot(C, C)#距离矩阵的平方

8 >>> E = np.trace(D) #计算矩阵D的迹

9 >>>E10 2

11 >>> E ** 0.5 #将E开平方得到距离

12 1.4142135623730951

关于计算矩阵距离我也不理解。网上看的帖子，先记下来

九、矩阵的秩

numpy包中的linalg.matrix_rank方法计算矩阵的秩：

1 >>> importnumpy as np2 >>> I = np.eye(3)#先创建一个单位阵

3 >>>I4 array([[ 1., 0., 0.],5 [ 0., 1., 0.],6 [ 0., 0., 1.]])7 >>> np.linalg.matrix_rank(I)#秩

8 3

9 >>> I[1, 1] = 0#将该元素置为0

10 >>>I11 array([[ 1., 0., 0.],12 [ 0., 0., 0.],13 [ 0., 0., 1.]])14 >>> np.linalg.matrix_rank(I)#此时秩变成2

15 2

十、求方阵的特征值特征向量

1 >>> importnumpy as np2 >>> x = np.diag((1, 2, 3))#创建一个对角矩阵！

3 >>>x4 array([[1, 0, 0],5 [0, 2, 0],6 [0, 0, 3]])7 >>> a,b = np.linalg.eig(x)#特征值保存在a中，特征向量保存在b中

8 >>>a9 array([ 1., 2., 3.])10 >>>b11 array([[ 1., 0., 0.],12 [ 0., 1., 0.],13 [ 0., 0., 1.]])

根据公式 Ax = λx 检验特征值与特征向量是否正确：

1 for i in range(3):#方法一

2 if np.allclose(np.dot(a[i], b[:, i]), x[:, i]):#np.allclose()方法在第七节提到过

3 print 'Right'

4 else:5 print 'Error'

6

7 for i in range(3):#方法二

8 if (np.dot(a[i], b[:, i]) ==x[:, i]).all():9 print 'Right'

10 else:11 print 'Error'

注意，如果写成 if np.dot(a[i], b[:, i]) == x[:, i]: 是错误的：(矩阵包含有多个值，应该使用a.any()或者a.all()判断)

ValueError: The truth value of an array with more than one element is ambiguous. Use a.any() or a.all()

十一、判断正定矩阵

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z'Mz> 0，其中z' 表示z的转置，就称M正定矩阵。

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。

下面用定理1判断对称阵是否为正定阵

1 >>> importnumpy as np2 >>> A = np.arange(16).reshape(4, 4)3 >>>A4 array([[ 0, 1, 2, 3],5 [ 4, 5, 6, 7],6 [ 8, 9, 10, 11],7 [12, 13, 14, 15]])8 >>> A = A + A.T #将方阵转换成对称阵

9 >>>A10 array([[ 0, 5, 10, 15],11 [ 5, 10, 15, 20],12 [10, 15, 20, 25],13 [15, 20, 25, 30]])14 >>> B = np.linalg.eigvals(A)#求B的特征值，注意：eig()是求特征值特征向量

15 >>>B16 array([ 6.74165739e+01 +0.00000000e+00j,17 -7.41657387e+00 +0.00000000e+00j,18 2.04219701e-15 +3.94306094e-15j,19 2.04219701e-15 -3.94306094e-15j])20

21 if np.all(B>0): #判断是不是所有的特征值都大于0，用到了all函数，显然对称阵A不是正定的

22 print 'Yes'

创建一个对角元素都为正的对角阵，它一定是正定的：

1 >>> A = np.diag((1, 2, 3))#创建对角阵，其特征值都为正

2 >>> B = np.linalg.eigvals(A)#求特征值

3 >>>B4 array([ 1., 2., 3.])5 >>> if np.all(B>0):#判断特征值是否都大于0

6 print 'Yes'

网上查到更简便的方法是对对称阵进行cholesky分解，如果像这样没有提示出错，就说明它是正定的。如果提示出错，就说明它不是正定矩阵，你可以使用try函数捕获错误值：

1 #-*- coding: utf-8 -*-

2 importnumpy as np3

4 A = np.arange(16).reshape(4, 4)5 A = A +A.T6 printA7 try:8 B =np.linalg.cholesky(A)9 except:10 print ('不是正定矩阵，不能进行cholesky分解。')

当不能进行cholesky分解时，出现的异常是： LinAlgError: Matrix is not positive definite ，但是但是LinAlgError不是Python标准异常，因此不能使用这条语句。

1 exceptLinAlgError as reason:2 print ('不是正定矩阵，不能进行cholesky分解。\n出错原因是：' + str(reason))