自控考研复习自我梳理（五）知识来自网络，纯为总结侵权即删（线性系统的频率分析法）

本章主要是通过应用频率特性研究线性系统的经典方法（频率分析法），介绍频率特性的基本概念和频率特性曲线的绘制方法，研究频率域稳定判据和频域性能的指标估算。

一、频率特性

频率响应是指系统对输入r(t)=R0 sinwt的响应，对线性系统，正弦稳态响应为c(t)=c0 sin(wt+ $\phi$ ).我们得到系统输出与输入具有相同的角频率，仅幅值不同及有一个相移。幅值比c0/R0与相移 $\phi$ 都是w的函数，频率特性图是利用频率响应法进行系统分析与研究的基础。

定义谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐波分量与谐波输入的幅值之比A(w)为频率特性，相位之差 $\phi (w)$ 为相频特性，并称其指数表达式（下式）为系统的频率特性。

$G(jw)=A(w)e^{j\phi (w)}$

注意：频率特性既可以适用于稳定系统（可以通过实验法测定），也可以使用不稳定系统（不能通过实验法测定）。

通过推算，我们可以得到：

$G(jw)=\frac{C(jw)}{R(jw)}=G(s)$ [s=jw]

汇总前面的知识，我们得到下图：

注意：在计算的时候，往往需要求传递函数的模值以及角度，那么角度怎么求？

频率响应的求模和相角

其中，分为分子和分母。分子为正，分母为负。如： $G(s)=\frac{s+1}{2s+3}$

其中： $\left | G(s) \right |=\left | \frac{wj+1}{2wj+3} \right |=\left | \frac{\sqrt{w^{2}+1}}{\sqrt{(2w)^{2}+9}} \right |$

$\angle (G(s))=arctan^{^{-1}}(\frac{1}{w})-arctan^{^{-1}}(\frac{3}{2W})$

1.1频率特性的几何表示

1.1.1 幅相特性曲线【又称为幅相曲线或极坐标曲线，奈奎斯特图】

将频率特性表示为实数和虚数和的形式，则实部为实轴坐标值，虚部为虚轴坐标值。或者表示为复指数形式，则为复平面上的向量。其中模长为负值，与实轴正方向的夹角为相位。请点击下面的链接，观看基本的传递函数对应的奈奎斯特图。

典型环节的奈奎斯特图

注意：延迟环节的奈奎斯特图为单位圆。

1.1.2对数频率特性曲线

又称伯德曲线或伯德图，由对数幅频曲线和对数相频曲线组成。

对数幅频特性曲线的横坐标按lgw 分度，单位为弧度/秒（rad/s),对数幅频曲线的纵坐标按

$L(w)=20lg\left | G(jw) \right |=20lgA(w)$

线性分度，单位的分贝（dB）。对数相频曲线的纵坐标按 $\phi(w)$ 线性分度，单位为度（°）。

知乎中基本环节的奈奎斯特图绘制

1.1.3对数幅相曲线

对数幅相曲线又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图。其特点是纵坐标为L(w)，单位是分贝(dB)，横坐标是 $\phi (2)$ ,单位是度(°）。频率w为参变量。

特点：在尼科尔斯曲线对应的坐标中，可以根据系统的开环和闭环的关系，绘制关于闭环幅频特性的等M簇线和闭环相频特性的等a簇线，因而可以根据频率指标要求确定校正网络，简化系统的设计过程。

二、最小相位环节

除了比例环节外，非最小相位环节和与之相对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的位置。非最小相位环节对应于s开右半平面的开环零极点，而最小相位环节对应s左半平面的开环零点或极点。

最小相位环节		非最小相位环节
比例环节K	（K>0）	比例环节K	（K<0）
惯性环节	1/(TS+1) T>0	惯性环节	1/(-TS+1) T>0
一阶微分环节	TS+1 T>0	一阶微分环节	-TS+1 T>0
振荡环节	$1/(s^{2}/wn^{2}+2\xi s/wn+1)$	振荡环节	$1/(s^{2}/wn^{2}-2\xi s/wn+1)$
wn>0 $0\leq\xi < 1$		wn>0 $0\leq\xi < 1$
二阶微分环节	$(s^{2}/wn^{2}+2\xi s/wn+1)$	二阶微分环节	$(s^{2}/wn^{2}-2\xi s/wn+1)$
wn>0 $0\leq\xi < 1$		wn>0 $0\leq\xi < 1$
积分环节	1/s
微分环节	s

注意：1、最小相位环节与对应的非最小相位环节的特点是典型环节中的某个参数的符号相反。

2、传递函数互为倒数的典型环节，对数幅频曲线关于0dB线对称，对数幅频曲线关于0°对称。在最小相位环节中有积分环节与微分环节，惯性环节与一阶微分环节，振荡环节和二阶微分环节的传递函数互为倒数。

$\phi2 (w)=-\phi1 (w)$
$L2(w)=20lgA2(w)=20lg\frac{1}{A2(w)}=-L1(w)$

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