AcWing 1309. 车的放置 (加法原理、乘法原理、组合数排列数的求法、乘法逆元)

1309. 车的放置

分步做：先放上面的矩形，后考虑下面的矩形。
分类做：依次求出，上面放置 0 、 1 、 2 、 … … 、 k 0、1、2、……、k 0、1、2、……、k个车的，而下面放置 k 、 k − 1 、 k − 2 、 … … 、 0 k、k-1、k-2、……、0 k、k−1、k−2、……、0的方案数，分别累计到答案里。
核心：加入上面放 i i i个、下面就放置 k − i k-i k−i个，那么此时方案数为
C b i ∗ P a i ∗ C d k − i ∗ P a + c − i k − i C_{b}^{i}*P_{a}^{i}*C_{d}^{k-i}*P_{a+c-i}^{k-i} Cbi∗Pai∗Cdk−i∗Pa+c−ik−i

在具体求组合数、排列数的时候，由于要求的模数是个质数，可以通过阶乘公式和乘法逆元( a − 1 ≡ a p − 2 ( m o d p ) a^{-1}\equiv a^{p-2} (\mod p) a−1≡ap−2(modp))得出。

#include <stdio.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int mod = 100003, N = 2010;
ll fact[N],infact[N];ll qp(ll a,ll b){ll res = 1;while(b){if(b&1) res = (res*a)%mod;a = a*a%mod;b >>= 1;}return res;
}ll P(ll a,ll b){if(a<b) return 0;return fact[a]*infact[a-b]%mod;
}ll C(ll a,ll b){if(a<b) return 0;return P(a,b)*infact[b]%mod;
}int a,b,c,d,k;int main(){scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k);fact[0] = infact[0] = 1;for(int i=1;i<N;i++){fact[i] = fact[i-1]*i%mod;infact[i] = qp(fact[i],mod-2)%mod;   // infact[i] = infact[i-1]*qp(i,mod-2)%mod; 也是可行的}ll ans = 0;for(int i=0;i<=k;i++){ans = (ans+C(b,i)*P(a,i)%mod*C(d,k-i)*P(a+c-i,k-i))%mod;}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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