图像取样与量化

概念

对坐标值进行数字化称为取样（采样），对幅度值进行数字化称为量化。
数字图像的质量很大程度上取决于取样和量化中用到的样本数量和离散灰度级。

数字图像表示

令f(s,t)f(s,t)f(s,t)表示一个有两个连续变量s和t的连续图像函数，通过取样和量化，我们可以把该函数转换为数字图像。假设我们把其取样为f(x,y)f(x,y)f(x,y)，该图像包含有M行与N列，(x,y)(x,y)(x,y)是离散坐标。由图像的坐标张成的实平面部分称为空间域，x和y称为空间变量或空间坐标。

三种表示方法：

函数图，两个坐标轴决定空间位置，一个坐标轴决定fff的值。
出现在计算机显示器上、照片上的情况
矩阵表示

N图像的中心有时可以表示为(floor(M/2),floor(N/2))(floor(M/2), floor(N/2))(floor(M/2),floor(N/2))，而起始索引值为1而不是0的时候，图像的中心为(floor(M/2)+1,floor(N/2)+1)(floor(M/2)+1, floor(N/2)+1)(floor(M/2)+1,floor(N/2)+1)（如matlab）

图像数字化要求对M值、N值和离散灰度级数L进行判定。对于M和N，除必须去正整数外，并没有其他限制。然而出于存储和量化硬件的考虑，灰度级数通常取为2的整数次幂：L=2kL=2^kL=2k

有时，灰度跨越的值域称为动态范围。这一术语不同场合用法不同，在这里我们将其定义为系统中最大可度量灰度与最小可检测灰度之比。上线取决于饱和度，下限取决于噪声（噪声也会出现在较亮的灰度中）。
动态范围建立一个系统所能表示和一幅图像所具有的最低和最高灰度级。对比度定义为一幅图像中最高和最低灰度级间的灰度差，反差比是这两个量的比率。
存储数字图像所需要的比特数b为：b=MNkb=MNkb=MNk
一幅图像具有2k2^k2k个可能的灰度级时，一般称该图像是一幅“kkk比特图像”。

线性索引与坐标索引

线性索引：每一个像素被赋予唯一可识别这个像素的线性索引值（可理解为一个一维数组）。而由二维坐标给出的约定称为坐标索引。
对于任何坐标对(x,y)(x,y)(x,y)，对应的线性索引值为α=My+x\alpha=My + xα=My+x；而相反，给定α\alphaα的坐标索引为 x=αmodMx=\alpha mod Mx=αmodM 以及 y=(α−x)/My = (\alpha - x)/My=(α−x)/M。

空间分辨率 & 灰度分辨率

空间分辨率是图像中最小可辨别细节的测度。
灰度分辨率是指在灰度级中可分辨的最小变化。

灰度分辨率通常指量化灰度时所用的比特数。例如我们经常说一幅灰度被量化为256级的图像，其灰度分辨率为8比特。

图像内插

内插通常在图像放大、缩小、旋转和几何校正中使用。
内插是用已知数据来估计未知位置的值得过程。介绍三种通用的图像内插方法。

1. 最近邻内插

最近邻内插：将原图像中最近邻的灰度赋予给每个新位置。

e.g. 假设要将一个图像放大1.5倍，一种简单的方法为创建一个大小为原1.5倍的假想网格，网格的像素间隔约原图像的像素间隔相同，然后收缩网格，使它与原图像重叠。然后对收缩后的上覆图像中每个像素，找到其在原图像中的最接近的点，赋予该点的灰度值。

以下该图展示了最近邻内插的判断过程（图片来源于网络）。

2. 双线性内插

同最近邻内插法的寻找原图坐标点的方法相似，只是双线性内插用到了4个最近邻像素的灰度值来确定给定位置上的灰度。首先计算4个最近邻像素的坐标，然后计算权重，即可得该点的灰度值。

以下图示方便理解双线性内插过程（图片来源于网络）。

3. 双三次内插

相比于双线性内插，计算量更大复杂度更高，包括16个最近的邻点加权内插，通常在保留细节方面强于双线性内插。一般商用图像编辑程序如Adobe Photoshop使用的是双三次内插法。

其他方法

内插时可以使用更多的邻点，并且存在使用样条和小波的复杂技术，采用这些技术可以得到更好的效果。通用数字图像处理通常不需要额外的计算开销，常使用双线性内插与双三次内插。

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