[编程题]: 过河问题

过河问题

问题描述：
一群人过河，每个人体重不同，过河需要的时间不同，体重多少，过河时间就要多少, T[1], T[2], … , T[n]，已经按从小到大排好序。只有一只船，船每次最多只能载2个人，这两个人过河的最短时间取决于体重最重的那个人，2个人过河之后需要一个人将船划回来供后面的人用。问：所有人过河，需要的最短时间时多少？
输入：人数n，接下来一行是n个人的体重
示例

输入
4
2 10 12 11
输出
39

输入
4
2 7 3 8
输出
19

这个题乍看是让过河时间最短的那个人来回的和其他人过河，因为当他和别人过河之后再将船划回来所需的时间最短。
这个推论看起来是对的，但是其实是有问题的：
比如，有4个人过河，体重（即过河时间）分别为2，3， 7， 8

可以看到这种貌似正确的方法所花的时间为：
3 + 2 + 8 + 2 + 7 = 22

再看另外一种过河方式：

这种过河方式所花费的时间是：
3 + 2 + 8 + 3 + 3 = 19

比上面那种貌似正确的方式用时更短。

这是怎么造成的呢？
可以看到在第一种方法中第2次过河的是 (2, 7)，第3次过河的是(2, 8)；第二种方法第2次过河的是(7, 8)，第3次过河的是(2, 3)。
第二种方法中，8花了8分钟过河，第一种中8过河也花了8分钟过河；而第二种中7跟着8过河，没有单独过河，这中间就节省了很多时间。虽然(7, 8)过河后要3将船划回对岸花的时间比2将船划回对岸花的时间更长，但是第3次过河时，(2, 3)过河花的时间比（2, 7）少得更多，节约的时间为：7 - 3 - 1 = 3 分钟，方案二比方案一少花3分钟。（有点像田忌赛马的思想一样，(7, 8)一起过河比(2, 8)一起过河能够抵消掉更多的时间）。

既然不是那种貌似最优的方法得到了最优的结果，那应该怎么分析得到求最短时间的方法呢？肯定是超能的Dynamic Programming了.

设dp[i]表示前i个人过河所花费的最短时间，考虑如下情景：
① 当河边还剩下 1 个人时，即dp[i - 1]已经得到
由河对岸过河时间最短的T[1]将船划回来，然后T[i]和T[1]一起过河，因此过河时间为
dp[i] = dp[i - 1] + T[1] + T[i];
② 当河边还剩下 2 个人时，即dp[i - 2]已经得到
由河对岸过河时间最短的T[1]将船划回来；
设河边剩下的两个人为 j、i，T[j] < T[i]；

若下一次 j 和 i不一起过河，而是T[1]和T[j]一起过河得到的整体的过河时间最短，将是上面的那种情况；
dp[j] = dp[i - 1] = dp[i - 2] + T[1] + T[j];
dp[i] = dp[i - 1] + T[1] + T[i] = dp[j] + T[1] + T[i]
若下一次 j 和 i 一起过河，然后再由河对岸过河时间最短的人T[2]将船划回，然后T[1]和T[2]一起过河；
dp[i] = dp[i - 2] + T[1] + T[i] + T[2] + T[2];

由此可的

dp[i] = max(dp[i - 1] + T[1] + T[i], dp[i - 2] + T[1] + T[i] + 2 * T[2])
边界：
dp[1] = T[1]
dp[2] = T[2]

那你只考虑了剩2个人得出了递推公式（也即转移方程），那河边剩下3个人没有过河呢，那有没有可能dp[i]取决于dp[i - 3]呢？
这是不会的，因为船每次只能载2个人，dp[i]的状态最多和dp[i - 2]有关。举例说明的话如下：

举例说明：
根据上面的分析，岸边还剩下2个人的时候，产生的过河组合有：(1, j)(1, i)和(j, i)（1, 2);
假设岸边还剩下3个人：k、j、i，且T[k] < T[j] < T[i]，和对岸过河时间最短的 1 将船划回来了，那么岸边有4个人：1、k、j、i，可以分为6中情况：
①1, k先过河，花费时间：
T[k] + T[1] + T[j] + T[1] + T[i]
或者
T[k] + T[1] + T[i] + T[2] + T[2]
②1, j先过河，花费时间：
T[j] + T[1] + T[k] + T[1] + T[i]
或者
T[j] + T[1] + T[i] + T[2] + T[2]
③1, i先过河，花费时间:
T[i] + T[1] + T[k] + T[1] + T[j]
或者
T[i] + T[1] + T[j] + T[2] + T[2]
④k, j先过河，花费时间：
T[j] + T[2] + T[i] + T[1] + T[2]
⑤k, i先过河，花费时间：
T[i] + T[2] + T[j] + T[1] + T[2]
⑥j, i先过河，花费时间：
T[i] + T[2] + T[k] + T[1] + T[2]

消减去相同量，共得到3种结果：
T[k] + T[j] + T[1]
T[k] + T[2] + T[2]
T[j] + T[2] + T[2]
而T[k] < T[k]，所以最优结果一定在 T[k] + T[j] + T[1] 和 T[k] + T[2] + T[2]中，而情况①中的去掉相同项得到的就是这两个，因此只考虑情况①就能得到全局最优解了，其他组合花费的时间不可能比情况①花费的时间更小。
而情况①中，可以看到是1, k先过河，再j、i 过河，因此：
dp[i - 3] + ① 就相当于dp[i - 2] + (j、i 的情况)
因此，求dp[i]时不需要考虑dp[i - 3]，即dp[i]的状态只与dp[i - 1]和dp[i - 2]有关

代码

Java

public class Main{public static void main(String[] args) {Scanner input = new Scanner(System.in);int T = input.nextInt();for (int k = 0; k < T; k++) {int n = input.nextInt();int[] people = new int[n + 1];for (int j = 1; j <= n; j++) people[j] = input.nextInt();if (n == 2) System.out.println(people[1] + people[2]);Arrays.sort(people);int[] dp = new int[n + 1];dp[1] = people[1];dp[2] = people[2];for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + people[1] + people[i], dp[i - 2] + people[1] + people[i] + 2 * people[2]);}System.out.println(dp[n]);}}
}

C++

#include <algorithm>
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;int main() {int n;cin >> n;vector<int> dp(n + 1, 0);vector<int> T(n + 1, 0);for (int i = 0; i < n; i++) cin >> T[i];sort(T.begin(), T.end());dp[1] = T[1];dp[2] = T[2];for (int i = 3; i <= n; i++) {dp[i] = min(dp[i - 1] + T[1] + T[i], dp[i - 2] + T[1] + T[i] + T[2] * 2);}cout << dp[n] << endl;return 0;
}

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