蚁群算法

蚁群算法(Ant Algorithm简称AA)是近年来刚刚诞生的随机优化方法，它是一种源于大自然的新的仿生类算法。由意大利学者Dorigo最早提出，蚂蚁算法主要是通过蚂蚁群体之间的信息传递而达到寻优的目的，最初又称蚁群优化方法(Ant Colony Optimization简称ACO)。由于模拟仿真中使用了人工蚂蚁的概念，因此亦称蚂蚁系统(Ant System，简称AS)

简介

蚁群算法模拟自然界蚂蚁群体的觅食行为，用蚂蚁的行走路径表示待优化问题的可行解，整个蚂蚁群体群体的所有路径构成待优化问题的解空间。路径较短的蚂蚁释放的信息素量较多，随着时间的推进，较短的路径上累积的信息素浓度逐渐增高，选择该路径的蚂蚁个数也越来越多。最终，整个蚂蚁会在正反馈的作用下集中到最佳的路径上，此时对应的便是待优化问题的最优解。

这种优化过程的本质在于：

选择机制：信息素越多的路径，被选择的概率越大。
更新机制：路径上面的信息素会随蚂蚁的经过而增长，而且同时也随时间的推移逐渐挥发消失。
协调机制：蚂蚁间实际上是通过分泌物来互相通信、协同工作的。

蚁群算法正是充分利用了选择、更新和协调的优化机制，即通过个体之间的信息交流与相互协作最终找到最优解，使它具有很强的发现较优解的能力。

原理

蚁群算法的基本原理:

蚂蚁在路径上释放信息素。
碰到还没走过的路口，就随机挑选一条路走。同时，释放与路径长度有关的信息素。
信息素浓度与路径长度成反比。后来的蚂蚁再次碰到该路口时，就选择信息素浓度较高路径。
最优路径上的信息素浓度越来越大。
最终蚁群找到最优寻食路径。

用数学语言描述这一过程：

初始时刻，各节点上的信息素浓度相同。
蚂蚁k根据各城市连接路径的信息素浓度确定其下一个访问城市。t时刻蚂蚁k从城市i转移到j的概率：
P i k = { [ τ i ( t ) ] α ⋅ [ η i j ( t ) ] ρ ∑ s ∈ allow k [ τ i s ( t ) ] α ⋅ [ η i s ( t ) ] β , s ∈ allow k 0 , s ∉ allow k P_{i}^{k}=\left\{\begin{array}{ll} {\frac{\left[\tau_{i}(t)\right]^{\alpha} \cdot\left[\eta_{i j}(t)\right]^{\rho}}{\sum_{s \in \text {allow}_{k}}\left[\tau_{i s}(t)\right]^{\alpha} \cdot\left[\eta_{i s}(t)\right]^{\beta}},} & {s \in \text {allow}_{k}} \\ {0 ,} & {\mathrm{s} \notin \text {allow}_{k}} \end{array}\right. Pik={∑s∈allowk[τis(t)]α⋅[ηis(t)]β[τi(t)]α⋅[ηij(t)]ρ,0,s∈allowks∈/allowk
其中 η i j ( t ) \eta_{i j}(t) ηij(t)为启发函数， η i j ( t ) = 1 / d i j \eta_{i j}(t)=1/d_{i j} ηij(t)=1/dij,表示蚂蚁从节点i转移到节点k的期望程度。 a l l o w k {allow}_{k} allowk为蚂蚁待访问的城市的集合， α \alpha α为信息素重要程度因子，其值越大，表示信息素浓度在转移过程中起的作用越大； β \beta β为启发函数重要因子，其值越大，表示启发函数在转移过程中起的作用越大，即蚂蚁倾向于去往较近的城市。

将各个蚂蚁随机置于不同出发点，对每个蚂蚁k，计算其下一个访问的城市，直到所有蚂蚁访问过所有的城市。
更新信息素

计算每个蚂蚁经过的路径长度L，记录目前的最短路径，同时更新路径上的信息素。

为了避免残留信息素过多而淹没启发信息，在每只蚂蚁走完一步或者完成对所有n个城市的遍历(也即一个循环结束)后，要对残留信息进行更新处理。由此， t + n t+n t+n时刻在路径 ( i , j ) (i,j) (i,j)上的信息量可按如下规则进行调整：
τ i j ( t + n ) = ( 1 − ρ ) ∙ τ i j ( t ) + Δ τ i j ( t ) Δ τ i j ( t ) = ∑ k = 1 m Δ τ i j k ( t ) \begin{aligned} &\tau_{i j}(t+n)=(1-\rho) \bullet \tau_{i j}(t)+\Delta \tau_{i j}(t)\\ &\Delta \tau_{ij}(t)=\sum_{k=1}^{m} \Delta \tau_{ij}^{k}(t) \end{aligned} τij(t+n)=(1−ρ)∙τij(t)+Δτij(t)Δτij(t)=k=1∑mΔτijk(t)
其中 Δ τ i j k ( t ) \Delta \tau_{ij}^{k}(t) Δτijk(t) 表示第k只蚂蚁在i与j链接路径上释放的信息素浓度， Δ τ i j ( t ) \Delta \tau_{ij}(t) Δτij(t)表示所有蚂蚁在i与j链接路径上释放的信息素浓度之和, ρ \rho ρ表示挥发程度。
判断是否终止

若达到最大迭代次数，终止。否则清空 a l l o w k allow_k allowk,回到步骤2.

关于蚁群算法中释放信息素的特点，有三种模型：

ant cycle system模型：每只蚂蚁在整个路径上释放的信息素总量一定。
ant quantity system模型：每只蚂蚁在相邻城市路径上释放的信息素总量一定。
ant density system模型：无论距离长短，释放量相同

各参数的取值范围：

α : [ 0 , 5 ] \alpha:[0,5] α:[0,5]
β : [ 0 , 5 ] \beta:[0,5] β:[0,5]
ρ : [ 0.1 , 0.99 ] \rho:[0.1,0.99] ρ:[0.1,0.99]

实例

用蚁群算法解决TSP问题。

清空环境变量

clear;
clc;

导入数据

citys= [[1304,2312];[3639,1315];[4177,2244];[3712,1399];[3488,1535];[3326,1556];[3238,1229];[4196,1004];[4312,790];[4386,570];[3007,1970];[2562,1756];[2788,1491];[2381,1676];[1332,695];[3715,1678];[3918,2179];[4061,2370];[3780,2212];[3676,2578];[4029,2838];[4263,2931];[3429,1908];[3507,2367];[3394,2643];[3439,3201];[2935,3240];[3140,3550];[2545,2357];[2778,2826];[2370,2975]];

计算城市间相互距离

n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:nfor j = 1:nif i ~= jD(i,j) = sqrt(((citys(i,1) - citys(j,1))^2)+((citys(i,2) - citys(j,2))^2));elseD(i,j) = 0;endend
end

初始化参数

m = 50;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数（信息素释放量）
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 200;                      % 最大迭代次数
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度

迭代寻找最佳路径

while iter <= iter_max% 随机产生各个蚂蚁的起点城市start = zeros(m,1);for i = 1:mtemp = randperm(n);start(i) = temp(1);endTable(:,1) = start;% 构建解空间citys_index = 1:n;% 逐个蚂蚁路径选择for i = 1:m% 逐个城市路径选择for j = 2:ntabu = Table(i,1:(j - 1))； % 已访问的城市集合allow_index = ~ismember(citys_index,tabu);allow = citys_index(allow_index);% 待访问的城市集合P = allow;% 计算城市间转移概率for k = 1:length(allow)P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;endP = P/sum(P);% 轮盘赌法选择下一个访问城市Pc = cumsum(P);target_index = find(Pc >= rand);target = allow(target_index(1));Table(i,j) = target;endend% 计算各个蚂蚁的路径距离Length = zeros(m,1);for i = 1:mRoute = Table(i,:);for j = 1:(n - 1)Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));endLength(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));end% 计算最短路径距离及平均距离if iter == 1[min_Length,min_index] = min(Length);Length_best(iter) = min_Length;Length_ave(iter) = mean(Length);Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);else[min_Length,min_index] = min(Length);Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);Length_ave(iter) = mean(Length);if Length_best(iter) == min_LengthRoute_best(iter,:) = Table(min_index,:);elseRoute_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);endend% 更新信息素Delta_Tau = zeros(n,n);% 逐个蚂蚁计算for i = 1:m% 逐个城市计算for j = 1:(n - 1)Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);endDelta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);endTau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;% 迭代次数加1，清空路径记录表iter = iter + 1;Table = zeros(m,n);
end

结果显示

[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);
------------------------------------------------------------
最短距离:15828.7082
最短路径:15  14  12  13  11  23  16   4   2   5   6   7   8   9  10   3  18  17  19  24  25  20  21  22  26  28  27  30  31  29   1  15

绘图

figure(1)
plot([citys(Shortest_Route,1);citys(Shortest_Route(1),1)],...[citys(Shortest_Route,2);citys(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(citys,1)text(citys(i,1),citys(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(citys(Shortest_Route(1),1),citys(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(citys(Shortest_Route(end),1),citys(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

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