负熵(看了好久,竟然这么简单,哎!…
首先明确一下熵的概念,虽然它是一个热力学度量,但是现在已经广泛应用在了数据分析的方方面面。
熵(ectropy)指的是体系的混乱程度,是体系的转台函数,其值与达到状态的过程无关(所以才可以用来预测啊),下面是正经的了
【概率与信息】
事件A的概率P(A)是A发生可能性的大小的度量。
P(A)越大,则A发生带来的信息越少;反之,P(A)越小,则A发生带来的信息越大。(点睛之笔啊,hoho)
例子:有人对你说“某日巴西足球队战胜了中国队”,你觉得他没有给你多少信息,因为这件事发生的概率非常大,结果几乎在预料当中。但如果他说巴西负于某个亚洲队,你会感觉得到的信息不少。
猜想
1. 事件A发生所带来的信息量H(A)应该是它发生的概率P(A)的严格减函数,而且A是必然事件时H(A)=0(“巴西队战胜中国队”)。
2. 若事件A与事件B相互独立,则A与B都发生带来的信息量应该是H(A)与H(B)之和,即H(AB)=H(A)+H(B)
【引理】
设H(u)是(0,1)上的严格减函数,H(1)=0,则为了满足H(uv)=H(u)+H(v),对于一些的00,使得H(u)=-c*ln(u)(c是一个正的常数,它的大小涉及信息量的单位,为了简单起见,一般取c=1)
定义1——信息量表示
设事件A的概率是P(A),P(A)>0,则称H(A)=-lnP(A)为A带来的信息量;
定义2——完备事件组的熵
设A1到An(n>=2)是条件S下的完备事件组,P(Ai)>0,对i=1,…n,则称P(A1,…An)=sumP(Ai)lnP(Ai),为完备事件组A1…An的熵。(Very Important)
【定理】
设A1到An(n>=2)是完备事件组,则当且仅当P(A1)=…P(An)时熵最大。
即,若条件S下可能发生的互不相容的事件至少有两个,则当且仅当这些事件有相等的概率的时候结果的不确定性最大。
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