一文搞懂交叉熵在机器学习中的使用,透彻理解交叉熵背后的直觉
关于交叉熵在loss函数中使用的理解
交叉熵(cross entropy)是深度学习中常用的一个概念,一般用来求目标与预测值之间的差距。以前做一些分类问题的时候,没有过多的注意,直接调用现成的库,用起来也比较方便。最近开始研究起对抗生成网络(GANs),用到了交叉熵,发现自己对交叉熵的理解有些模糊,不够深入。遂花了几天的时间从头梳理了一下相关知识点,才算透彻的理解了,特地记录下来,以便日后查阅。
信息论
交叉熵是信息论中的一个概念,要想了解交叉熵的本质,需要先从最基本的概念讲起。
1 信息量
首先是信息量。假设我们听到了两件事,分别如下:
事件A:巴西队进入了2018世界杯决赛圈。
事件B:中国队进入了2018世界杯决赛圈。
仅凭直觉来说,显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因,是因为事件A发生的概率很大,事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了,我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了,我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。
假设XXX是一个离散型随机变量,其取值集合为χ" role="presentation">χχ\chi,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x∈χp(x)=Pr(X=x),x\in\chi,则定义事件X=x0X=x0X=x_0的信息量为:
I(x_0)=-log(p(x_0))
由于是概率所以 p(x0)p(x0)p(x_0)的取值范围是 [0,1][0,1][0,1],绘制为图形如下:
可见该函数符合我们对信息量的直觉
2 熵
考虑另一个问题,对于某个事件,有nnn种可能性,每一种可能性都有一个概率p(xi)" role="presentation">p(xi)p(xi)p(x_i)
这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子,假设你拿出了你的电脑,按下开关,会有三种可能性,下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量
序号 | 事件 | 概率p | 信息量I |
---|---|---|---|
A | 电脑正常开机 | 0.7 | -log(p(A))=0.36 |
B | 电脑无法开机 | 0.2 | -log(p(B))=1.61 |
C | 电脑爆炸了 | 0.1 | -log(p(C))=2.30 |
注:文中的对数均为自然对数
我们现在有了信息量的定义,而熵用来表示所有信息量的期望,即:
H(X)=-\sum_{i=1}^n p(x_i)log(p(x_i))
其中n代表所有的n种可能性,所以上面的问题结果就是
\begin{eqnarray} H(X)&=&-[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]\\ &=&0.7\times 0.36+0.2\times 1.61+0.1\times 2.30\\ &=&0.804 \end{eqnarray}
然而有一类比较特殊的问题,比如投掷硬币只有两种可能,字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能,中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题(二项分布的特例),对于这类问题,熵的计算方法可以简化为如下算式:
\begin{eqnarray} H(X)&=&-\sum_{i=1}^n p(x_i)log(p(x_i))\\ &=&-p(x)log(p(x))-(1-p(x))log(1-p(x)) \end{eqnarray}
3 相对熵(KL散度)
相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x),我们可以使用 KL 散度(Kullback-Leibler (KL) divergence)来衡量这两个分布的差异
维基百科对相对熵的定义
In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.
即如果用P来描述目标问题,而不是用Q来描述目标问题,得到的信息增量。
在机器学习中,P往往用来表示样本的真实分布,比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布,比如[0.7,0.2,0.1]
直观的理解就是如果用P来描述样本,那么就非常完美。而用Q来描述样本,虽然可以大致描述,但是不是那么的完美,信息量不足,需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练,也能完美的描述样本,那么就不再需要额外的“信息增量”,Q等价于P。
KL散度的计算公式:
D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^np(x_i)log(\frac{p(x_i)}{q(x_i)}) \tag{3.1}
n为事件的所有可能性。
DKLDKLD_{KL}的值越小,表示q分布和p分布越接近
4 交叉熵
对式3.1变形可以得到:
\begin{eqnarray} D_{KL}(p||q) &=& \sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))\\ &=& -H(p(x))+[-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))] \end{eqnarray}
等式的前一部分恰巧就是p的熵,等式的后一部分,就是交叉熵:
H(p,q)=-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))
在机器学习中,我们需要评估label和predicts之间的差距,使用KL散度刚刚好,即DKL(y||ŷ )DKL(y||y^)D_{KL}(y||\hat{y}),由于KL散度中的前一部分−H(y)−H(y)-H(y)不变,故在优化过程中,只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss,评估模型。
机器学习中交叉熵的应用
1 为什么要用交叉熵做loss函数?
在线性回归问题中,常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数,比如:
loss = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(y_i-\hat{y_i})^2
这里的m表示m个样本的,loss为m个样本的loss均值。
MSE在线性回归问题中比较好用,那么在逻辑分类问题中还是如此么?
2 交叉熵在单分类问题中的使用
这里的单类别是指,每一张图像样本只能有一个类别,比如只能是狗或只能是猫。
交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法
loss=-\sum_{i=1}^{n}y_ilog(\hat{y_i}) \tag{2.1}
上式为一张样本的loss计算方法。式2.1中n代表着n种类别。
举例说明,比如有如下样本
对应的标签和预测值
* | 猫 | 青蛙 | 老鼠 |
---|---|---|---|
Label | 0 | 1 | 0 |
Pred | 0.3 | 0.6 | 0.1 |
那么
\begin{eqnarray} loss&=&-(0\times log(0.3)+1\times log(0.6)+0\times log(0.1)\\ &=&-log(0.6) \end{eqnarray}
对应一个batch的loss就是
loss=-\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^{n}y_{ji}log(\hat{y_{ji}})
m为当前batch的样本数
3 交叉熵在多分类问题中的使用
这里的多类别是指,每一张图像样本可以有多个类别,比如同时包含一只猫和一只狗
和单分类问题的标签不同,多分类的标签是n-hot。
比如下面这张样本图,即有青蛙,又有老鼠,所以是一个多分类问题
对应的标签和预测值
* | 猫 | 青蛙 | 老鼠 |
---|---|---|---|
Label | 0 | 1 | 1 |
Pred | 0.1 | 0.7 | 0.8 |
值得注意的是,这里的Pred不再是通过softmax计算的了,这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间。所有Pred值的和也不再为1。换句话说,就是每一个Label都是独立分布的,相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算,每一个节点只有两种可能值,所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布,熵的计算可以进行简化。
同样的,交叉熵的计算也可以简化,即
loss =-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y})
注意,上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。
例子中可以计算为:
\begin{eqnarray} loss_猫 &=&-0\times log(0.1)-(1-0)log(1-0.1)=-log(0.9)\\ loss_蛙 &=&-1\times log(0.7)-(1-1)log(1-0.7)=-log(0.7)\\ loss_鼠 &=&-1\times log(0.8)-(1-1)log(1-0.8)=-log(0.8) \end{eqnarray}
单张样本的loss即为loss=loss猫+loss蛙+loss鼠loss=loss猫+loss蛙+loss鼠loss = loss_猫+loss_蛙+loss_鼠
每一个batch的loss就是:
loss =\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}-y_{ji}log(\hat{y_{ji}})-(1-y_{ji})log(1-\hat{y_{ji}})
式中m为当前batch中的样本量,n为类别数。
总结
路漫漫,要学的东西还有很多啊。
参考:
https://www.zhihu.com/question/65288314/answer/244557337
https://en.wikipedia.org/wiki/Kullback%E2%80%93Leibler_divergence
https://jamesmccaffrey.wordpress.com/2013/11/05/why-you-should-use-cross-entropy-error-instead-of-classification-error-or-mean-squared-error-for-neural-network-classifier-training/
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