欧拉法解常微分方程.doc

数学与计算科学学院实 验 报 告实验项目名称 Eular方法求解一阶常微分方程数值解 所属课程名称 偏微分方程数值解 实 验 类 型 验证性 实 验 日 期 2015-3-26 班 级 学 号 姓 名 成 绩 一、实验概述【实验目的】 熟练掌握应用显性Eular法和隐式Eular法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。【实验原理】虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程。求解从实际问题当中归结出来的微分方程主要靠数值解法。欧拉方法是一类重要的数值解法。这类方法回避解yx的函数表达式，而是寻求它在一系列离散节点上的近似值，相邻的两个节点的间距称作步长。假定步长为定数。欧拉方法是一类离散化方法，这类方法将寻求解yx的分析问题转化为计算离散值值的代数问题，从而使问题获得了实质性的简化。然而随之带来的困难是，由于数据量往往很大，差分方法所归结出的可能是个大规模的代数方程组。 【实验环境】1. 硬件环境 2. 2.软件环境 MATLAB7.02、 实验内容【实验过程】(实验步骤)一实验任务 描述某种化学反应过程的方程，利用显性和隐形Eualar方法求解下列一阶线性微分方程组的近似数值解 2 求解过程 Eular方法 一阶线性微分方程初值问题 (1)方程离散化差分和差商 (2) 通过初始值，依据递推公式(2)逐步算出就为显性的Eular方法。隐形Eular方法 (3) 公式(3)即为隐式Eular公式。(三)程序算法1. 利用显式Eular法方求解 利用MATLAB进行求解，编写脚本文件如下文件名hql.m 显性Eular方法 f01; g0 0;z00 delta0.01; time1; t0deltatime; fzerossizet; gzerossizet; zzerossizet; f1zerossizet; g1zerossizet; z1zerossizet; f1f0; g1g0; z1z0; for i2lengtht f1i-1 -0.04*fi-1 10000*fi-1*gi-1; fifi-1f1i-1*delta; g1i-1 0.04*fi-1 - 10000*fi-1*gi-1-3*107*gi-12; gigi-1g1i-1*delta; z1i-13*107*gi-12; zizi-1zi-1*delta; Funfgz end figure plott,f,o; xlabelt; ylabely1; titlet-y1变化图 figure plott,g,o; xlabelt; ylabely2; titlet-y2变化图 figure plott,z,o; xlabelt; ylabely3; titlet-y3变化图 figure plott,Fun; xlabelt; ylabely1y2y3; titlet-y1y2y3变化图【实验结论】 A步长h0.001时进行数据测试。结果如下迭代第一次时，结果与方程描述内容相符。迭代第二次时，结果与方程描述内容基本相符。迭代三次时，结果与方程描述内容基本相符。迭代1000次时，模拟结果已经严重脱离事实，故当选择delta为0.001时，该迭代方法不收敛。时间与个变量直接的变化关系如图所示从上述图形可以明显看出，在迭代的不断进行时，各变量与时间的变化越来越大，且严重脱离了方程所描述的现实意义。B.当选择h0.00000001时，模拟结果如下 迭代第一次， 与A中结果相同。 迭代第二次， 跌二次迭代结果明显优于一中。跌三次迭代结果，并未产生误差。地1000次迭代结果， 结果明显是收敛的。 时间与个变量直接的变化关系如图所示从图中能够清晰看出，当h0.00000001时，模拟结果与方程所表示的显示意义相吻合。说明了显性Eualr方法的收敛性是与步长的选择是相关。这就对我们们选择步长造成了困难，由于选择的步长不合适有可能得出错误的结论。【实验小结】(收获体会)1、 软件使用 在写MATLAB语言的时候要深刻理解题的意图，整理好思绪再做题目，在我运算的过程中，h取值取得越小、越细微，曲线逼近的越好。2、欧拉法的缺点 简单地取切线的端点作为下一步的起点进行计算，当步数增多时，误差会因积累而越来越大。因此欧拉格式一般不用于实际计算。3、 实验感想 在这次上机实验中，我掌握了解决常微分方程的基本方法，同时学会使用计算机软件对两种不同方法得到的结果进行判断，对我们以后对数据进行分析很有帮助。三、指导教师评语及成绩评 语评语等级优良中及格不及格1.实验报告按时完成,字迹清楚,文字叙述流畅,逻辑性强2.实验方案设计合理3.实验过程(实验步骤详细,记录完整,数据合理,分析透彻)4实验结论正确. 成 绩 指导教师签名 批阅日期附录源 程 序程序1显性Eular方法f01; g0 0;z00delta0.00000001; time0.00001;t0deltatime; fzerossizet;gzerossizet;zzerossizet;f1zerossizet;g1zerossizet;z1zerossizet; f1f0;g1g0;z1z0;for i2lengtht f1i-1 -0.04*fi-1 10000*fi-1*gi-1; fifi-1f1i-1*delta; g1i-1 0.04*fi-1 - 10000*fi-1*gi-1-3*107*gi-12; gigi-1g1i-1*delta; z1i-13*107*gi-12; zizi-1zi-1*delta; Funfgzend figureplott,f,o;xlabelt;ylabely1;titlet-y1变化图 figureplott,g,o;xlabelt;ylabely2;titlet-y2变化图 figureplott,z,o;xlabelt;ylabely3;titlet-y3变化图 figureplott,Fun;xlabelt;ylabely1y2y3;titlet-y1y2y3变化图