【傅里叶变换】DFT详细分析与Python实现

一. 思考几个问题

二. 狄拉克函数和sinc函数

三. DFT的计算公式

四. 频谱幅值和时域信号幅值的关系

五. 频谱的中心对称性

六. 取样和频率间隔间的关系

七. Python实现一维FFT

八. 对图像进行FFT

一. 思考几个问题

我们知道无论是Matlab还是Python实现FFT都是十分容易的，但是需要思考几个问题：

狄拉克函数？sinc函数？
DFT的计算公式是什么？DFT后长度不变？
频谱的横坐标有何物理意义？横轴范围是多少？分辨率又是多少？
采样点数、采样频率、采样持续时间是否理解？更改采样点数或采样频率，对频谱有何影响？
频率谱幅值和时域信号幅值的关系？
频谱中F[0]的物理意义是什么？
为什么得到的频谱（除去第一个点）是中心对称的？
对图像进行FFT，频谱原点在哪里？如何进行中心化？
对图像进行FFT，得到的图像物理意义是什么？

二. 狄拉克函数和sinc函数

三. DFT的计算公式

四. 频谱幅值和时域信号幅值的关系

注意：这里所说的频谱，指的是FFT后取模得到的曲线。

五. 频谱的中心对称性

六. 取样和频率间隔间的关系

七. Python实现一维FFT

''' Author: Jiuwu Hao '''
import numpy as np
from scipy.fftpack import fft,fft2,fftshift
from math import pi
import matplotlib.pyplot as pltdef hjw_dft(fs,signal):# 信号持续时间T,即样本点数*采样间隔T = len(signal)*(1/fs)# x轴整体范围时采样持续时间，分辨率是采样间隔x = np.arange(0,T,1/fs)plt.plot(x,signal)plt.title('Original')plt.show()# dft后，长度不变，是复数表示，想要频谱图需要取模dft = fft(signal)dft = np.abs(dft)/(len(dft)/2)dft[0] /= 2# 归一化# dft = (dft-np.min(dft))/(np.max(dft)-np.min(dft))# 在频率域中，横轴范围为采样频率，分辨率是1/T，即持续时间的倒数dft_x = np.arange(0,fs,1/T)plt.plot(dft_x,dft)plt.title('DFT')plt.show()# 由于Nyquist采样定律和信号的对称性都可以证明，只要取一半的频率区间即可dft_half = dft[0:int(len(dft)/2)]dft_x_half = dft_x[0:int(len(dft)/2)]plt.plot(dft_x_half,dft_half)plt.title('DFT_Half')plt.show()fs = 2000 # 采样率为2000Hz
n = 10000 # 采样点数为10000
T = n*(1/fs)  # 采样持续时间
# 注意：在构造测试函数时，不能x = np.arange(n)，要符合实际物理意义的采样频率
x = np.arange(0,T,1/fs)
# 信号频率为100，200Hz,直流分量为4
y = 3*np.sin(2*pi*100*x) + 5*np.cos(2*pi*200*x) +4  if __name__ == '__main__':hjw_dft(fs,y)

代码效果：

八. 对图像进行FFT

空间域和频率域的原点都在左上角。同样，|F[0,0]|/MN代表了图像灰度的平均值。典型地，由于比例常数MN通常很大，因此|F[0,0]|是谱的最大分量，可能比其他项大几个数量级。因此如果没有进行中心化，那么最亮的点位于原点。

为中心化该谱，我们用(-1)的x+y次幂去乘以原始图像，再进行FFT，可得到中心化频谱。由于直流分量支配着谱的值，因此其他灰度的动态范围被压缩了，为给出那些细节，可采用对数变换(1+log|F[u,v]|)。

图像FFT实例与代码：

链接：https://pan.baidu.com/s/1sIsmhnOTlOMVePeyWehQgw
提取码：tr06

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