孙子定理及扩展孙子定理

中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem)

CRT是解决下列同余方程问题的，mi,mjm_i,m_jmi,mj两两互质。

该定理只需要用到两个取余知识点：

1.a%b=c→(a+kb)%b=ca\%b=c\rightarrow (a+kb)\%b=ca%b=c→(a+kb)%b=c

2.a%b=c→(ka)%b=kc(kc<b)a\%b=c\rightarrow (ka)\%b=kc\ (kc<b)a%b=c→(ka)%b=kc (kc<b)

该问题当模数两两互质必有解。

令MiM_iMi是除了mim_imi之外的所有mjm_jmj的lcm=∏j=1nm[j]m[i]lcm=\dfrac{\prod\limits_{j=1}^nm[j]}{m[i]}lcm=m[i]j=1∏nm[j]。

令Mit≡1(modmi)M_it\equiv 1\pmod{m_i}Mit≡1(modmi)

⇒Mit+miy=1\Rightarrow M_it+m_iy=1⇒Mit+miy=1

由exgcdexgcdexgcd可解出ttt。

这个满足x≡ai(modmi)x\equiv a_i\pmod{m_i}x≡ai(modmi)的式子，我们先找到该式余1的解：MitM_itMit。

然后由知识222可得，ai×Mi×t(modmi)=aia_i\times M_i\times t\pmod{m_i}=a_iai×Mi×t(modmi)=ai

最后的答案就是：∑i=1naiMiti(modM)\sum\limits_{i=1}^n a_iM_it_i\pmod{M}i=1∑naiMiti(modM)

该解是最小正整数解。

代码

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//ax+by=1if(!b){x=1,y=0;return;}exgcd(b,a%b,y,x); y-=(a/b)*x;
}
ll m[N],a[N];//m[i] modulus (relatively prime) a[i] remainder
ll crt(int n){ //Chinese Remainder Theorem  (nlogM)ll M=1;//product of modulusfor(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]),M*=m[i];ll ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){ll x,y;ll u=M/m[i];// Inverseexgcd(u,m[i],x,y);// ux+m[i]y=1ans=(ans+1LL*a[i]*u*x%M)%M; //sum of a[i]*u*x}return (ans%M+M)%M;//Minimum positve integer
}

扩展中国剩余定理

假设我们已经求出前i−1i-1i−1个方程的解xxx，且令M=lcm{mj}j∈[1,i−1]M=lcm\{m_j\} j\in[1,i-1]M=lcm{mj}j∈[1,i−1]

则xxx的通解为：x+kMx+kMx+kM

对于第iii个方程：(x+kM)≡ai(modmi)(x+kM)\equiv a_i\pmod{m_i}(x+kM)≡ai(modmi)

即：kM=(ai−x)(modmi)kM=(a_i-x)\pmod{m_i}kM=(ai−x)(modmi)

kM+miy=(ai−x)kM+m_iy=(a_i-x)kM+miy=(ai−x)

由exgcdexgcdexgcd可解得：kkk。

所以前iii个方程的解x′=x+kMx'=x+kMx′=x+kM，然后更新M=lcm(M,mi)M=lcm(M,m_i)M=lcm(M,mi)进入下个方程即可。

代码

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//ax+by=1if(!b){x=1,y=0;return a;}ll g=exgcd(b,a%b,y,x); y-=(a/b)*x;return g;
}
ll qmul(ll a,ll b,ll m){ll s=0;while(b){if(b&1) s=(s+a)%m;a=(a+a)%m;b>>=1;}return s;
}
ll m[N],a[N];//m[i] modulus (relatively prime) a[i] remainder
ll excrt(int n){ //Chinese Remainder Theorem  (nlogM)ll M=1,ans=0;//product of modulusfor(int i=1;i<=n;i++){ll x,y,c=(a[i]-ans%m[i]+m[i])%m[i];ll g=exgcd(M,m[i],x,y);if(c%g) return -1;//no answerll g1=m[i]/g,g2=c/g;x=qmul(x,g2,g1);ans+=x*M;M*=g1;ans=(ans%M+M)%M;}return (ans%M+M)%M;//Minimum positve integer
}

Hint

求 {kix=ai(modmi)}\{k_ix=a_i\pmod{m_i}\}{kix=ai(modmi)}

类似excrtexcrtexcrt

已知前i−1i-1i−1个方程的通解：x+tMx+tMx+tM

则ki(x+tM)=ai(modmi)k_i(x+tM)=a_i\pmod{m_i}ki(x+tM)=ai(modmi)

(kiM)t+miy=ai−kix(k_iM)t+m_iy=a_i-k_ix(kiM)t+miy=ai−kix

由exgcdexgcdexgcd可解得ttt。

因此可求出xxx。

记忆方法

上述两个定理的关键都是：mix+Miy=cm_ix+M_iy=cmix+Miy=c 解出xxx。

一个是：Mix+miy=1M_ix+m_iy=1Mix+miy=1

ans=∑aiMix(modM)ans=\sum a_iM_ix \pmod{M}ans=∑aiMix(modM)

一个是：Mix+miy=(ai−ans)M_ix+m_iy=(a_i-ans)Mix+miy=(ai−ans)

ans=∑Mix(modM)ans=\sum M_ix \pmod{M}ans=∑Mix(modM)

参考文章

具体证明可参考这篇文章

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习题

P4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/曹冲养猪

ABC 193 E(EXCRT 板子)

POJ 1006 (CRT 板子)