基于入侵杂草算法的函数寻优算法
文章目录
- 一、理论基础
- 1、算法简介
- 2、杂草特性
- 二、案例背景
- 1、问题描述
- 2、解题思路及步骤
- （1） 初始化种群
- （2） 繁殖
- （3） 空间分布
- （4） 竞争性排斥规则
- 3、算法流程
- 三、MATLAB程序实现
- 1、清空环境变量
- 2、问题设定
- 3、参数设置
- 4、初始化杂草种群
- 5、迭代优化
- 6、结果显示
- 四、参考文献
一、理论基础
1、算法简介
入侵杂草算法(Invasive Weed Optimization，IWO)是C.Lucas和A.R.Mehrabian在2006年通过模拟自然界中杂草扩散入侵过程的随机搜索仿生优化算法。该算法是一种很强大的智能优化算法，具有易于理解、收敛性好、鲁棒性强、易于实现、结构简单等优点，目前，IWO 算法已成功应用在 DNA 序列计算、线性天线设计、电力线通信系统资源分配、图像识别、图像聚类、约束工程设计、压电激励器放置等实际工程问题。
2、杂草特性
杂草最突出的特点是，种子通过动物、水及风等多种传播途径随机散布在田野里，每个种子独立地使用田里的资源，找到适合的生长空间，发挥强大的适应能力，并且充分利用生长环境中的资源，能够获取充分的营养快速生长。在杂草进化和繁殖的过程中，生存能力强的种子繁殖得更快，产生较多的种子。反之，不太适应环境的种子，产生较少的种子。
二、案例背景
1、问题描述
本案例的寻优函数为sphere函数： f ( x ) = ∑ i = 1 n x i 2 , x i ∈ [ − 10 , 10 ] , i = 1 , 2 , ⋯ , n (1) f(\boldsymbol x)=\sum_{i=1}^n x_i^2,\quad x_i∈[-10,10],i=1,2,\cdots,n\tag{1} f(x)=i=1∑nxi2,xi∈[−10,10],i=1,2,⋯,n(1)本案例取 n = 5 n=5 n=5。
sphere函数的三维立体图形如图1所示。
图1 sphere函数的三维立体图形
2、解题思路及步骤
（1） 初始化种群
设置相关参数，设定最大种群规模 N m a x N_{max} Nmax，初始化种群数 N 0 N_0 N0，所求问题维数 d d d，最大迭代次数 i t e r m a x iter_{max} itermax，繁殖的种子数的上下限 S m a x S_{max} Smax和 S m i n S_{min} Smin，非线性调和因子(方差缩减指数) n n n。
（2） 繁殖
每个杂草产生的种子数的表达式： S = f l o o r ( S m i n + f − f m i n f m a x − f m i n ( S m a x − S m i n ) ) (2) S=floor(S_{min}+\frac{f-f_{min}}{f_{max}-f_{min}}(S_{max}-S_{min}))\tag{2} S=floor(Smin+fmax−fminf−fmin(Smax−Smin))(2)其中， f l o o r floor floor是MATLAB的一个函数，表示“向下取整”，即取不大于该值的最大整数； f f f代表当前杂草的适应度值，当前种群中杂草适应度值范围为 [ f m i n , f m a x ] [f_{min},f_{max}] [fmin,fmax]，一颗杂草所能繁殖种子的数量范围为 [ S m i n , S m a x ] [S_{min},S_{max}] [Smin,Smax]。
（3） 空间分布
杂草产生的种子在父代个体的周围形成正态分布，其均值为零，标准差为 σ c u r \sigma_{cur} σcur。第 i i i个杂草产生的第 s s s个种子的位置为: P o s i t i o n i , s = P o s i t i o n i + N ( 0 , σ 2 ) , S m i n ≤ s ≤ S m a x (3) Position_{i,s}=Position_i+N(0,\sigma^2),S_{min}≤s≤S_{max}\tag{3} Positioni,s=Positioni+N(0,σ2),Smin≤s≤Smax(3)其中， σ \sigma σ为标准差。随着进化次数的增加，标准差可按下式计算： σ c u r = ( i t e r m a x − i t e r i t e r m a x ) n ( σ i n i t − σ f i n a l ) + σ f i n a l (4) \sigma_{cur}=\left(\frac{iter_{max}-iter}{iter_{max}}\right)^n(\sigma_{init}-\sigma_{final})+\sigma_{final}\tag{4} σcur=(itermaxitermax−iter)n(σinit−σfinal)+σfinal(4)其中， σ c u r \sigma_{cur} σcur是当前标准差， i t e r m a x iter_{max} itermax为最大进化迭代次数， i t e r iter iter为当前进化迭代次数。 σ i n i t \sigma_{init} σinit和 σ f i n a l \sigma_{final} σfinal分别为标准差初始值和最终值。每轮进化对应的标准差并不一样，随着进化的进行，标准差从 σ i n i t \sigma_{init} σinit一直变化到 σ f i n a l \sigma_{final} σfinal；一般情况下设置为 n = 3 n=3 n=3。
（4） 竞争性排斥规则
竞争性排斥规则是经过多次进化之后，当种群规模达到 N m a x N_{max} Nmax，按照适应度值大小对所有的个体进行排序，排除适应度较差的个体，保留其余个体。即此算法是先通过杂草迅速繁殖，占领生存空间，而后保留了竞争力更强的杂草继续进行空间搜索。
3、算法流程
IWO算法主要步骤如图2所示。
图2 IWO算法流程图
三、MATLAB程序实现
利用MATLAB提供的函数，可以方便地在MATLAB环境下实现上述步骤。
1、清空环境变量
程序运行之前，清除工作空间Workspace中的变量及Command Window中的命令。具体程序如下：
%% Clear environment variables
clc;
clear;
close all;
2、问题设定
在进行优化之前，需要明确优化的目标函数。具体程序如下：
%% Problem Definition
CostFunction = @(x) Sphere(x); % 目标函数
nVar = 5; % 决策变量数
VarSize = [1 nVar]; % 决策变量矩阵大小
VarMin = -10; % 决策变量下限
VarMax = 10; % 决策变量上限
Sphere函数代码如下：
function z = Sphere(x)
%% 目标函数z = sum(x.^2);
end
3、参数设置
代码如下：
%% IWO Parameters
MaxIt = 500; % 最大迭代次数nPop0 = 10; % 初始种群规模
nPop = 25; % 最大种群规模Smin = 0; % 繁殖种子数下限
Smax = 5; % 繁殖种子数上限Exponent = 3; % 方差缩减指数（非线性调和因子）
sigma_initial = 0.5; % 标准差初值
sigma_final = 0.001; % 标准差终值
4、初始化杂草种群
在计算之前，需要对杂草种群进行初始化。同时，为了加快程序的执行速度，对于程序中涉及的一些过程变量，需要预分配其存储容量。具体程序如下：
%% Initialization
% 置空植物矩阵（包含位置和适应度值）
empty_plant.Position = [];
empty_plant.Cost = [];
pop = repmat(empty_plant, nPop0, 1); % 初始种群矩阵
for i = 1:numel(pop)% 初始化位置pop(i).Position = unifrnd(VarMin, VarMax, VarSize);% 初始化适应度值pop(i).Cost = CostFunction(pop(i).Position);
end
% 初始化最优函数值历史记录
BestCosts = zeros(MaxIt, 1);
5、迭代优化
迭代寻优为整个算法的核心。首先根据公式(4)计算标准差，获得最优和最差的目标函数值，并初始化子代种群；然后进行繁殖操作，根据公式(2)计算每个杂草个体产生的种子数；之后，遍历每个杂草产生的种子，根据杂草产生的种子在父代个体的周围服从 N ( 0 , σ 2 ) N(0,\sigma^2) N(0,σ2)和公式(3)产生相应的个体，添加进子代种群；最后，合并父代和子代，并根据竞争性生存法则剔除额外成员(如果多余的话)，保存每代的最优解。
%% IWO Main Loop
for it = 1:MaxIt% 更新标准偏差sigma = ((MaxIt - it)/(MaxIt - 1))^Exponent * (sigma_initial - sigma_final) + sigma_final;% 获得最佳和最差的目标值Costs = [pop.Cost];BestCost = min(Costs);WorstCost = max(Costs);% 初始化子代种群newpop = [];% 繁殖for i = 1:numel(pop)% 比例系数ratio = (pop(i).Cost - WorstCost)/(BestCost - WorstCost);% 每个杂草产生的种子数S = floor(Smin + (Smax - Smin)*ratio);for j = 1:S% 初始化子代newsol = empty_plant; % 生成随机位置% randn是一种产生标准正态分布的随机数或矩阵的函数newsol.Position = pop(i).Position + sigma * randn(VarSize); % 边界(下限/上限)处理newsol.Position = max(newsol.Position, VarMin);newsol.Position = min(newsol.Position, VarMax);% 子代的目标函数值newsol.Cost = CostFunction(newsol.Position);% 添加子代newpop = [newpopnewsol]; % #okendend% 合并种群pop = [popnewpop];% 种群排序[~, SortOrder] = sort([pop.Cost]);pop = pop(SortOrder);% 竞争排除（删除额外成员）if numel(pop)>nPoppop = pop(1:nPop);end% 保存最佳种群BestSol = pop(1);% 保存最优函数值历史记录BestCosts(it) = BestSol.Cost;% 显示迭代信息disp(['Iteration ' num2str(it) ': Best Cost = ' num2str(BestCosts(it))]);
end
6、结果显示
为了更为直观地对结果进行观察和分析，以图形的形式将结果显示出来，具体程序如下：
%% Results
figure;
% plot(BestCosts, 'LineWidth', 2);
semilogy(BestCosts, 'r', 'LineWidth', 2);
xlabel('Iteration');
ylabel('Best Cost');
grid on;
IWO算法进化过程如图3所示。
图3 IWO算法迭代进化过程
四、参考文献
[1] A.R. Mehrabian, C. Lucas. A novel numerical optimization algorithm inspired from weed colonization[J]. Ecological Informatics, 2006, 1(4): 355-366.
[2] V. Kawadia, P. R. Kumar. Principles and protocols for power control in wireless ad hoc networks[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2005, 23(1): 76-88.
[3] 孟凡治, 王换招, 何晖. 基于联合感知模型的无线传感器网络连通性覆盖协议[J]. 电子学报, 2011, 39(4): 772-779.
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