时间序列分析（7）| ADF检验

上篇介绍了DF检验，该检验仅用于AR(1)过程的单位根检验，对于AR()过程来说，需要使用拓展DF检验（augmented Dickey-Fuller，ADF）。

1 模型检验形式

AR()过程的形式如下：

上式可以转换成如下形式：

而一阶检验的模型形式为：

与一阶的形式相比，p阶形式的相当于；可以看做是的滞后期，是特有的部分。

ADF检验使用的函数依然是urca工具包中的ur.df()：

ur.df(y, type = c("none", "drift", "trend"),lags = 1,selectlags = c("Fixed", "AIC", "BIC"))

lag参数是指的滞后项长度的最大可能值；

type参数的设置与DF检验一致，根据是否包含截距项和时间趋势项而定；

由于在进行检验前是不知道真实滞后项长度的，需要使用selectlags参数选择确定“最佳”滞后项的原则，“最佳”滞后长度不大于lag参数所对应的值。

以下示例来自官方文档：

library(urca)
data(Raotbl3)
plot(Raotbl3$lc, type = "l")

lc.df <- ur.df(y = Raotbl3$lc, lags = 12, type = 'trend',selectlags = "AIC")
summary(lc.df)
## ###############################################
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test #
## ###############################################
##
## Test regression trend
##
##
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt + z.diff.lag)
##
## Residuals:
##       Min        1Q    Median        3Q       Max
## -0.045255 -0.005840  0.000133  0.006540  0.035257
##
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)  1.1215347  0.3852117   2.911  0.00472 **
## z.lag.1     -0.1068796  0.0368355  -2.902  0.00486 **
## tt           0.0006400  0.0002297   2.786  0.00674 **
## z.diff.lag1  0.0328881  0.1080263   0.304  0.76162
## z.diff.lag2  0.1374570  0.1084381   1.268  0.20881
## z.diff.lag3  0.3178508  0.1098182   2.894  0.00496 **
## z.diff.lag4 -0.1501981  0.1118817  -1.342  0.18344
## z.diff.lag5  0.2550984  0.1112869   2.292  0.02466 *
## z.diff.lag6  0.1094590  0.1152173   0.950  0.34511
## z.diff.lag7  0.2295406  0.1077044   2.131  0.03631 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.01203 on 76 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2637, Adjusted R-squared:  0.1765
## F-statistic: 3.024 on 9 and 76 DF,  p-value: 0.003858
##
##
## Value of test-statistic is: -2.9015 3.7964 4.2192
##
## Critical values for test statistics:
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -4.04 -3.45 -3.15
## phi2  6.50  4.88  4.16
## phi3  8.73  6.49  5.47

模型输出结果中，滞后项只到z.diff.lag7，表明按照AIC原则选择的“最优”滞后项长度为7；

tau3大于10%显著水平临界值，说明不能拒绝存在单位根的原假设，即；phi2和phi3都小于10%显著水平临界值，因此不能拒绝存在截距项和时间趋势（具体解读方法参见上篇时间序列分析（6）| DF检验）。

2 两个检验规则

研究表明，DF和ADF检验在不能拒绝存在单位根的情况下的有效性是很低的。在进行单位根假设时可以结合以下两个规则进行判断：

规则1：在回归方程中，若自变量中既有一阶单整变量，又有平稳变量，那么对于均值为0的平稳变量的系数可以使用t检验，而无需使用DF或ADF检验；

规则2：如果能够确定模型形式中包含确定性成分，即截距项或时间趋势项，那么对于该模型的所有变量的回归系数都可以使用t检验。

据此，单位根检验的一般流程如下：

DF或ADF检验有如下三种形式：形式1——不含截距项和时间趋势项；形式2——含截距项；形式3——同时含截距项和时间趋势项；
不管在哪种形式下，若DF或ADF能拒绝的原假设，则都可以认为序列不存在单位根，检验结束；若不能拒绝，由于此时检验有效性低，因此还需进一步地判断；
在形式3下，根据phi3（）判断是否能拒绝的原假设。若能拒绝，则可再使用t检验先判断是否显著异于0：
- 如果显著异于0，则可认为序列中含有确定性的时间趋势成分，根据规则2，则可在形式3下使用t检验判断是否显著异于0，检验结束；
- 如果不能拒绝，或者拒绝后不能再拒绝（即不显著异于0），则需要在形式2下再进行判断；
在形式2下，根据phi1（）判断能否拒绝。若能拒绝，则可以使用t检验判断是否显著异于0：
- 如果显著异于0，则可认为序列中含有确定性的截距成分，根据规则2，则可在形式3下使用t检验判断是否显著异于0，检验结束；
- 如果不能拒绝，或者拒绝后不能再拒绝（即不显著异于0），则此时只能在形式1下进行DF或ADF检验。

在第一节的示例中，所有形式下都不能拒绝的原假设，并且在形式3下不能拒绝，形式2下不能拒绝，因此只能在形式1下进行ADF检验。以下是形式2和形式1下的模型代码，各位读者可以验证。

形式2：

lc.df2 <- ur.df(y = Raotbl3$lc, lags = 12, type = 'drift',selectlags = "AIC")
summary(lc.df2)

形式1：

lc.df3 <- ur.df(y = Raotbl3$lc, lags = 12, type = 'none',selectlags = "AIC")
summary(lc.df3)