缘起

深圳大学电子协会的OJ上，有一道标难度为“低”的题《少了荔枝》。可是大家做了，觉得很棘手，要么无从下手，要么超了时间。我觉得很有意思，成功将时间复杂度降到了O(1)。

题目

描述

深大有一颗荔枝树，结了许多荔枝，但是有一个强迫症同学每天都去偷摘来吃，现在假设荔枝不会自行掉落：

第1天吃了1/3的量，紧接着又馋嘴吃多了1个

第2天吃了剩下的1/3的量，紧接着又馋嘴吃多了2个

第3天吃了剩下的1/3的量，紧接着又馋嘴吃多了3个

…

第n(n>0)天吃了剩下的1/3的量，紧接着又馋嘴吃多了n个，这时他发现只剩下m(m>0)颗荔枝在树上了，于是今后没再继续偷摘了

输入

输入偷摘的天数 n (0 < n < 100)

输出

输出最开始荔枝树上的荔枝数量的可能的最小值和在此情况下最后剩下的荔枝数量

样例1

输入

输出

3 1

样例2

输入

输出

15 4

题解

这道题不乏有暴力算法破解的猛男，可惜超时了；也不乏有设计了很漂亮的算法的高手，可惜咱学不来。可是咱高中学得还可以，可以用纯初等数学的方法求出通项公式，且听我娓娓道来。

解题思路（含公式证明）

我们不妨设原有荔枝 a 0 a_0 a0颗，每天都被偷吃，第 n n n天被偷吃后，还剩下 a n a_n an颗。
我们是可以得到如下关系的：

这个关系怎么来的呢？我把证明过程写在了一张纸上，很清楚。

然后对最后一个式子变形，就有了上述通式了。
其中注意到 a n > 0 a_n > 0 an>0 且 a 0 a_0 a0 必须是整数，因此，要得到 a 0 a_0 a0的最小值，可使 a n = 1 a_n = 1 an=1开始，每次加让 a n a_n an加1，直到 ( a n + 3 n − 6 ) m o d ( 2 n ) = 0 (a_n + 3n - 6) mod (2^n) = 0 (an+3n−6)mod(2n)=0 时为止。通过此时的 a n a_n an，结合公式，就很容易求出 a 0 a_0 a0了。

AC代码

#include<iostream>
#include<cmath>
#define ull unsigned long long
using namespace std;int main() {//int n;ull n;cin >> n;ull an = 1;while ((an + 3 * n - 6) % ((ull)1 << n))an++;ull a0 = (an + 3 * n - 6) * pow(1.5, n) + 6;cout << a0 << " " << an << endl;return 0;
}

其他

需要考虑到代码中使用了pow()函数。该函数至少需要对数级复杂度的算法才可以实现。因此上文中对该算法O(1)的论述是不准确的。除此之外，还有两个严重的问题需要解决。

题中的n，数据规模可达100。但是本题样例较弱，因此上文中代码即可AC。但是如果要对更大的数据量提供支持，则需设计大数类。
从1开始向上试探最小值，是一种效率极其低下的方式。如有可能，也当进一步优化。

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【深大电协OJ】少了荔枝

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