异常值检测 —— MAD(median absolute deviation)
MAD 定义为,一元序列 XiXiX_i 同其中位数偏差的绝对值的中位数(deviation,偏差本身有正有负);
\text{MAD=median}\left(|X_i-\text{median(X)}|\right)
1. MAD 用于异常点的检测
假定数据服从正态分布,我们让异常点(outliers)落在两侧的 50% 的面积里,让正常值落在中间的 50% 的区域里:
P(|X-\mu|\leq MAD)=P(\frac{|X-\mu|}{\sigma}\leq \frac{MAD}{\sigma})=P(Z\leq \frac{MAD}{\sigma})=1/2
其中 P(Z≤MADσ)=Φ(MADσ)−Φ(−MADσ)=1/2P(Z≤MADσ)=Φ(MADσ)−Φ(−MADσ)=1/2P(Z\leq \frac{MAD}{\sigma})=\Phi(\frac{MAD}{\sigma})-\Phi(-\frac{MAD}{\sigma})=1/2,又由 Φ(−a)=1−Φ(a)Φ(−a)=1−Φ(a)\Phi(-a)=1-\Phi(a),可 Φ(MAD/σ)=3/4Φ(MAD/σ)=3/4\Phi(MAD/\sigma)=3/4 ⇒ MAD/σ=Φ−1(3/4)MAD/σ=Φ−1(3/4)MAD/\sigma=\Phi^{-1}(3/4),查表可知,MAD/σMAD/σMAD/\sigma=0.6749。
from scipy.stats import normdef mad_based_outlier(points, thresh=3.5):if type(points) is list:points = np.asarray(points)if len(points.shape) == 1:points = points[:, None]med = np.median(points, axis=0)abs_dev = np.absolute(points - med)med_abs_dev = np.median(abs_dev)mod_z_score = norm.ppf(0.75) * abs_dev / med_abs_devreturn mod_z_score > thresh
2. MAD 与基于分位数方法的对比
MAD 的方法相对于分位数方法的一大优势即在于 MAD 方法对样本大小是不敏感也即是稳定的鲁棒的一种评价指标。
def percentile_based_outlier(data, threshold=95):diff = (100 - threshold) / 2.0minval, maxval = np.percentile(data, [diff, 100 - diff])return (data < minval) | (data > maxval)
Pythonic way of detecting outliers in one dimensional observation data
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