卫星轨道的估计问题(Matlab)(一):理论基础

问题:

在平面轨道中绕地球(质量为mmm)运动的一个卫星,设rrr为该卫星到地球的距离,θ\thetaθ为该卫星与地球连线同坐标轴xxx成的夹角。该卫星坐标m(x,y)m(x,y)m(x,y)。求该卫星的轨迹并仿真之。

求解方案:

在极坐标下卫星坐标为m(rcosθ,rsinθ)m(rcos\theta,rsin\theta)m(rcosθ,rsinθ)。表示为X:X:X:
X⃗=[rcosθrsinθ]\vec X = \begin{bmatrix} rcos\theta \\ rsin\theta\end{bmatrix} X=[rcosθrsinθ]
对卫星进行受力分析可以知道行星收到的合外力可以看作只有万有引力:
∑F⃗out=GmMr3r⃗=−GmMr2cosθi⃗−GmMr2sinθj⃗=[−GmMr2cosθ−GmMr2sinθ]\sum \vec F_{out}=G\frac{mM}{r^3}\vec r =-G\frac{mM}{r^2}cos\theta\vec i-G\frac{mM}{r^2}sin\theta\vec j=\begin{bmatrix}-G\frac{mM}{r^2}cos\theta \\ -G\frac{mM}{r^2}sin\theta\end{bmatrix} ∑Fout=Gr3mMr=−Gr2mMcosθi−Gr2mMsinθj=[−Gr2mMcosθ−Gr2mMsinθ]
而XXX的二阶导数为:
X¨⃗=[r¨cosθ−2r˙θ˙sinθ−rθ¨sinθ−rθ˙2cosθr¨sinθ+2r˙θ˙cosθ+rθ¨cosθ−rθ˙2sinθ]\vec{\ddot{X}}=\begin{bmatrix} \ddot{r}cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}sin\theta-r\ddot{\theta}sin \theta-r\dot{\theta}^2cos\theta\\ \ddot{r}sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}cos\theta+r\ddot{\theta}cos \theta-r\dot{\theta}^2sin\theta \\ \end{bmatrix} X¨=[r¨cosθ−2r˙θ˙sinθ−rθ¨sinθ−rθ˙2cosθr¨sinθ+2r˙θ˙cosθ+rθ¨cosθ−rθ˙2sinθ]

根据牛顿第二定律∑Fout⃗=mX¨⃗\sum \vec{F_{out}} =m\vec{\ddot{X}}∑Fout=mX¨列出其动力学方程:

[−GmMr2cosθ−GmMr2sinθ]=m[r¨cosθ−2r˙θ˙sinθ−rθ¨sinθ−rθ˙2cosθr¨sinθ+2r˙θ˙cosθ+rθ¨cosθ−rθ˙2sinθ]\begin{bmatrix}-G\frac{mM}{r^2}cos\theta \\ -G\frac{mM}{r^2}sin\theta\end{bmatrix}=m\begin{bmatrix} \ddot{r}cos\theta-2\dot{r}\dot{\theta}sin\theta-r\ddot{\theta}sin \theta-r\dot{\theta}^2cos\theta\\ \ddot{r}sin\theta+2\dot{r}\dot{\theta}cos\theta+r\ddot{\theta}cos \theta-r\dot{\theta}^2sin\theta \\ \end{bmatrix} [−Gr2mMcosθ−Gr2mMsinθ]=m[r¨cosθ−2r˙θ˙sinθ−rθ¨sinθ−rθ˙2cosθr¨sinθ+2r˙θ˙cosθ+rθ¨cosθ−rθ˙2sinθ]
化简一下可以得到:
−GMr2[cosθsinθ]=[r¨−rθ˙2−2r˙θ˙−rθ¨2r˙θ˙+rθ¨r¨−rθ˙2][cosθsinθ]-G\frac{M}{r^2}\begin{bmatrix}cos\theta \\ sin\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\ddot{r}-r\dot{\theta}^2&-2\dot{r}\dot{\theta}-r\ddot{\theta}\\2\dot r\dot \theta+r\ddot{\theta}&\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}cos\theta \\ sin\theta\end{bmatrix} −Gr2M[cosθsinθ]=[r¨−rθ˙22r˙θ˙+rθ¨−2r˙θ˙−rθ¨r¨−rθ˙2][cosθsinθ]
消去[cosθ,sinθ]T[cos\theta,sin\theta]^T[cosθ,sinθ]T后整理可以得到:
r¨=rθ˙2−GMr−2θ¨=−2r−1r˙θ˙\ddot r = r\dot \theta^2-GMr^{-2}\\ \ddot{\theta}=-2r^{-1}\dot r \dot \theta r¨=rθ˙2−GMr−2θ¨=−2r−1r˙θ˙
上面的式子说明行星运动处在一个复杂的二阶非线性常微分方程所确定的轨道上:

我们设状态变量x=[r,r˙,θ,θ˙]Tx=[r,\dot r,\theta,\dot{\theta}]^Tx=[r,r˙,θ,θ˙]T,可以得到:
x˙=[x(2)x(1)∗(x(4))2−GM(x(1))−2x(4)−2(x(1))−1x(2)x(4)]\dot{x}=\begin{bmatrix}x(2)\\x(1)*(x(4))^2-GM(x(1))^{-2} \\x(4) \\-2(x(1))^{-1}x(2)x(4) \end{bmatrix}\\ x˙=⎣⎢⎢⎡x(2)x(1)∗(x(4))2−GM(x(1))−2x(4)−2(x(1))−1x(2)x(4)⎦⎥⎥⎤
我们要求的是该卫星在图上坐标系中的位置X⃗\vec XX:
X⃗=[x(1)∗cos(x(3))x(1)∗sin(x(3))]\vec X=\begin{bmatrix}x(1)*cos(x(3))\\x(1)*sin(x(3)) \end{bmatrix} X=[x(1)∗cos(x(3))x(1)∗sin(x(3))]
以初值为:
x0=(a,0,0,ω0)Tx_0=(a,0,0,\omega_0)^T x0=(a,0,0,ω0)T

在MATLAB中调用ode45ode45ode45函数采用龙格-库塔法求解之:

以月球为例,M = 5.965×10^24kg,G = 6.67259×10^-11N·m²/kg²,a = 3.63×10^8m，而且在近日点处的角速度估计为:ω0=2π30×24×3600rad/s\omega_0=\frac{2\pi}{30\times24\times3600} rad/sω0=30×24×36002πrad/s。

调用以下代码进行仿真:

clc,clear
G = 6.67259*10^(-11);
M = 5.965*10^(24);
a = 3.63*10^8;
x0 = [a;0;0;2*pi/30/3600/24];
GM = G*M;
odefun = @(t,x)[x(2);...x(1)*(x(4))^2-GM*(x(1)+eps)^(-2);...x(4);...-2*x(2)*x(4)/(x(1)+eps)];
day = 24*3600;
tspan = 0:day/24:28*day;
%以下是最关键一步
[t,y] = ode45(odefun,tspan,x0);
hold on,grid on
plot(y(:,1).*cos(y(:,3)),y(:,1).*sin(y(:,3)),'LineWidth',3);
plot(y(:,1).*cos(y(:,3)),y(:,1).*sin(y(:,3)),'ro');
plot(0,0,'yo','MarkerFaceColor','black');
text(0,0,'地球');
xlabel('m');ylabel('m');title('月球运动轨迹');

绘制出的月球轨迹为:

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