【matlab】ode45求解二阶微分方程，绘制曲线图

朋友问题： 有微分方程如下：
md2ydt2+dydtexp(t)−y2=5m \frac{d^2y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} exp(t) - y^2 = 5mdt2d2y+dtdyexp(t)−y2=5
其中，y(t=0)=1y(t=0)=1y(t=0)=1，dy/dt(t=0)=−10dy/dt (t=0) = -10dy/dt(t=0)=−10。
请在区间[0,5][0, 5][0,5]内绘制两个子图，分别为dy/dtdy/dtdy/dt与yyy，每个子图涵盖m=1m=1m=1与m=2m=2m=2两种情况。

所以本题的核心问题在于：用数值计算的方法求解该方程，得到各点，绘制点图。

使用 matlab 自带的 ode45 ，方程组用句柄表示。

ode45 参见教程：如何使用ODE45

首先把题目方程转换，转换为 ode45 能理解的方式。

先声明变量：
y1=yy2=y′\begin{aligned} y_1 & = y \\ y_2 & = y' \\ \end{aligned}y1y2=y=y′

于是整理方程：

y1′=y2y2′=1m(5−y1′ey1+y12)\begin{aligned} y_1' & = y_2 \\ y_2' & = \frac{1}{m} (5 - y_1' e^{y_1} + y_1^2) \end{aligned}y1′y2′=y2=m1(5−y1′ey1+y12)

于是我们知道，ode45中要有2个变量，且将其右边的式子分别表示出来，即：

dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];

其中：

y(2)代表 y1′=y2y_1' = y_2y1′=y2；
(5 - y(1)*exp(y(2)) + y(2)^2)/m代表 y2′=1m(5−y1′ey1+y12)y_2' = \frac{1}{m} (5 - y_1' e^{y_1} + y_1^2)y2′=m1(5−y1′ey1+y12)。

接着，规定初值：y(t=0)=1y(t=0)=1y(t=0)=1，dy/dt(t=0)=−10dy/dt (t=0) = -10dy/dt(t=0)=−10。

y10 = 1;
y20 = -10;

规定自变量 ttt 范围：

tspan = [0, 5];

输入 ode45 则为：

[t, y] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);

整个题目的代码为：

% 表示该方程组
m = 1;
dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];
y10 = 1;
y20 = -10;
tspan = [0, 5];% m = 1
[t_m_1, y_m_1] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);
% m = 2
m = 2;
dy = @(t, y)[y(2); (5 - y(2)*exp(y(1)) + y(1)^2)/m];
[t_m_2, y_m_2] = ode45(dy, tspan, [y10, y20]);% plot
subplot(1, 2, 1);
plot(t_m_1, y_m_1(:, 2));
hold on
plot(t_m_2, y_m_2(:, 2));
title('dy/dt')
legend('m=1','m=2')subplot(1, 2, 2);
plot(t_m_1, y_m_1(:, 1));
hold on
plot(t_m_2, y_m_2(:, 1));
title('y')
legend('m=1','m=2')

顺便学了 ode45 ，不错。

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