曼哈顿距离与切比雪夫距离的互化
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曼哈顿距离
对于两个点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\),定义他们的曼哈顿距离为\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\),即两坐标轴分别讨论差值再求和。
对于曼哈顿距离相同的点,他们分布在同一横纵截距且截距相同的直线上。
图中每一个正方形边界上的整点到原点的曼哈顿距离相同。
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切比雪夫距离
对于两个点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\),定义他们的曼哈顿距离为\(max\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}\),即两坐标轴分别讨论差值取最大。
对于切比雪夫距离相同的点,他们分布在以原点为中心的正方形边界上。
图中每一个正方形边界上的整点到原点的曼哈顿距离相同。
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曼哈顿距离转切比雪夫距离
考虑曼哈顿距离的表达式:\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\),其实可以表示成:
\(\begin{align}max\{x_1-x_2+y_1-y_2,x_1-x_2+y_2-y_1,x_2-x_1+y_1-y_2,x_2-x_1+y_2-y_1\}\end{align}\)
考虑将两个点变化为\((x_1+y_1,x_1-y_1),(x_2+y_2,x_2-y_2)\)
那么变化后两点的切比雪夫距离为\(max((|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|)\)
若原来两点曼哈顿距离为\(x_1-x_2+y_1-y_2\)或\(x_2-x_1+y_2-y_1\)时,都可以表示为\(|(x_1+y_2)-(x_2+y_2)|\)
若原来两点曼哈顿距离为\(x_1-x_2+y_2-y_1\)或\(x_2-x_1+y_1-y_2\)时,都可以表示为\(|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|\)
将每一个点\((x,y)\)转化为\((x+y,x-y)\),新坐标系下的切比雪夫距离即为原坐标系下曼哈顿距离。
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切比雪夫距离转曼哈顿距离
按照刚才的思路再还原回去即可。
将每一个点\((x,y)\)转化为\((\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\),新坐标系下的曼哈顿距离即为原坐标系下切比雪夫距离。
这个转化一般比较常用,曼哈顿距离一般可以通过排序前缀和的方式降低计算复杂度。
注意到除法如果向下取整可能会使答案不正确,所以考虑先不除以\(2\),最后求完答案再除以\(2\)也是一样的,形象的理解可以说成,曼哈顿坐标系是通过切比雪夫坐标系旋转\(45^{\circ}\)后,再缩小到原来的一半得到的。
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一道例题
有\(N\)个二位平面上的点,定义每一个点到其八连通的点的距离为\(1\)。
选一个点,使得剩下所有点到该点的距离之和最小,求出这个距离之和。
- \(N\in [0,10^5]\)
\(\\\)
题意即为求切比雪夫距离之和最小,暴力的做法是\(N^2\)的。
考虑将切比雪夫距离转化为曼哈顿距离,我们将横纵坐标分开排序求前缀和,这样既可快速求出,以一个点为中心,其他点到这个点的曼哈顿距离之和。
具体的做法是将两个坐标分开讨论,每次找到当前点在排序后数组的位置\(p\)。
那么它前面的点坐标都小于当前点,累加的答案为\(p\times x[i]-sum_p\)。
后面的点的坐标都大于当前点,反过来累加答案,为\((sum_n-sum_p)-(n-p)\times x[i]\)
对所有的点都求一遍,取最小值即可,复杂度\(\text O(NlogN)\)。
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#define N 100010
#define R register
#define gc getchar
#define inf 900000000000000000
using namespace std;
typedef long long ll;inline ll rd(){ll x=0; bool f=0; char c=gc();while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}return f?-x:x;
}ll n,ans=inf,x[N],y[N],sx[N],sy[N],sumx[N],sumy[N];int main(){n=rd();for(R ll i=1,xx,yy;i<=n;++i){xx=rd(); yy=rd();sx[i]=x[i]=xx+yy; sy[i]=y[i]=xx-yy;}sort(sx+1,sx+1+n);sort(sy+1,sy+1+n);for(R ll i=1;i<=n;++i){sumx[i]=sumx[i-1]+sx[i];sumy[i]=sumy[i-1]+sy[i];}for(R ll i=1,res;i<=n;++i){ll px=lower_bound(sx+1,sx+1+n,x[i])-sx;ll py=lower_bound(sy+1,sy+1+n,y[i])-sy;res=px*x[i]-sumx[px]+sumx[n]-sumx[px]-(n-px)*x[i];res+=py*y[i]-sumy[py]+sumy[n]-sumy[py]-(n-py)*y[i];ans=min(ans,res>>1);}printf("%lld\n",ans);return 0;
}
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