曼哈顿距离和切比雪夫距离转换
设平面空间内存在两点,它们的坐标为(x1,y1) (x2,y2)
曼哈顿距离
dis=|x1−x2|+|y1−y2|,即两点横纵坐标差之和。
切比雪夫距离
dis=max(|x1−x2|,|y1−y2|),即两点横纵坐标差的最大值。
两者之间的关系
两者的定义看上去好像毛线关系都没有,但实际上,这两种距离可以相互转化!
我们考虑最简单的情况,在一个二维坐标系中,设原点为(0,0)
如果用曼哈顿距离表示,则与原点距离为1的点会构成一个边长为√2的正方形
如果用切比雪夫距离表示,则与原点距离为1的点会构成一个边长为2的正方形
仔细对比这两个图形,我们会发现这两个图形长得差不多,他们应该可以通过某种变换互相转化。
事实上,
将一个点(x,y)的坐标变为 \large (x+y ,x-y) 后,原坐标系中的曼哈顿距离 == 新坐标系中的切比雪夫距离
将一个点(x,y)的坐标变为 \large ( \frac{x+y}{2} ,\frac{x-y}{2}) 后,原坐标系中的切比雪夫距离 == 新坐标系中的曼哈顿距离
用处
切比雪夫距离在计算的时候需要取max,往往不是很好优化,对于一个点,计算其他点到该的距离的复杂度为O(n)
而曼哈顿距离只有求和以及取绝对值两种运算,我们把坐标排序后可以去掉绝对值的影响,进而用前缀和优化,可以把复杂度降为O(1) .
题目 :
poj https://blog.csdn.net/qq_28954601/article/details/71170721
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3964
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