动态规划应用举例

背包问题（Knapsack Problem）

问题描述

一个旅行者随身携带一个背包，可以放入背包的物品有 n 种，每种物品的重量和价值分别为wi，vi。如果背包的最大重量限制是 b，每种物品可以放多个。怎样选择放入背包的物品以使得背包的价值最大? 设上述wi，vi，b 都是正整数。

问题建模

解是 < x1, x2,…, xn >，其中 xi 是装入背包的第 i 种物品个数。

线性规划问题：由线性条件约束的线性函数取最大或最小的问题。
整数规划问题：线性规划问题的变量 xi 都是非负整数。

子问题界定和计算顺序

子问题界定：由参数 k 和 y 界定
k：考虑对物品 1, 2, … , k 的选择。
y：背包总重量不超过 y。

原始输入：k = n，y = b。
子问题计算顺序：k = 1,2, … , n 对于给定的 k，y = 1, 2, … ,b.

优化函数的递推方程

Fk(y)：装前 k 种物品，总重不超过 y，背包达到的最大价值。

标记函数

ik(y)：装前k种物品,总重不超y,背包达到最大价值时装入物品的最大标号

实例

追踪解

时间复杂度

备忘录需计算nb项，每项常数时间,计算时间为O(nb) .

代码实例

题目描述：
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的价值是C[i]，重量是W[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

输入描述：
输入第一行数 N V (1 <=N <=500) (1<= V <= 10000)
输入 N 行两个数字代表 C W (1 <= C <= 50000, 1 <= W <=10000)

示例

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main()
{int N,V;while(cin >> N >> V){vector<int> value(N);//存储每个物品的价值vector<int> capacity(N);//存储每个物品的容量for(int i = 0; i < N; ++i){cin >> value[i] >> capacity[i];}vector<vector<int>> dp(N+1,vector<int>(V+1,0));//有N+1行，但是从1开始遍历，所以每行表示每个物品//有V+1列，但是从1开始遍历，所以每列表示从1开始到最大容量 的 各种情况下 的 物品最大价值存储for(int i = 1; i < N+1; ++i){for(int j = 1; j < V+1; ++j){if(capacity[i-1] > j)//如果不下，那就等于上次的最优存储{//这里的capacity[i-1]是因为这里的i从1开始dp[i][j] = dp[i-1][j];}else//如果能放下，有两种情况：1、放 2、不放//放和不放取决于放了之后是否是最优的，于是创建一个临时变量。{//dp[i-1][j-capacity[i-1]]：i-1：上面一行，j-capacity[i-1]：装了i-1这个物品之后还剩的容量。//所以整体就是：当前的tmp_best == 装了i-1物品的价值 + 装了这个物品后剩余的容量还可以装的最优的方案int tmp_best = value[i-1] + dp[i-1][j-capacity[i-1]];dp[i][j] = max(tmp_best,dp[i-1][j]);}}}//返回最后一个元素就是最优的方案cout << dp[N][V] << endl;}return 0;
}