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问题提出

如图所示，在空间中有一向量A，问点O绕A方向逆时针旋转角度α的矩阵如何表示。

问题分析

问题化规

直接去构造一个矩阵是比较困难的。
我们知道绕X，Y，Z三个方向的旋转矩阵是可以直接给出的。分别如下。
角度根据右手定则绕各轴逆时针旋转θ

绕 X 轴表示为： X ( θ ) = [ 1 0 0 0 c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ ] 绕X轴表示为：X(\theta)=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&cos\theta&-sin\theta\\0&sin\theta&cos\theta\end{bmatrix} 绕X轴表示为：X(θ)= 1000cosθsinθ0−sinθcosθ

绕 Y 轴表示为： Y ( θ ) = [ c o s θ 0 s i n θ 0 1 0 － s i n θ 0 c o s θ ] 绕Y轴表示为：Y(\theta)=\begin{bmatrix}cos\theta&0&sin\theta\\0&1&0\\－sin\theta&0&cos\theta\end{bmatrix} 绕Y轴表示为：Y(θ)= cosθ0－sinθ010sinθ0cosθ

绕 Z 轴表示为： Z ( θ ) = [ c o s θ − s i n θ 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] 绕Z轴表示为：Z(\theta)=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta&0\\sin\theta&cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix} 绕Z轴表示为：Z(θ)= cosθsinθ0−sinθcosθ0001

一个直观的想法就是先把向量A转到与X轴相同的方向。
也就是沿着A与X叉乘方向旋转β，如图所示。

图中向量M分别与向量A，向量X垂直，可知向量M处于平面YOZ中。

设上述旋转为RM

那么O点最终结果可以表示如下

O ′ = R M − 1 ⋅ X ( α ) ⋅ R M ⋅ O O'=RM^{-1}\cdot X(\alpha) \cdot RM\cdot O O′=RM−1⋅X(α)⋅RM⋅O

由于向量M并不与X，Y，Z轴中任意一轴平行，所以还是不好直接给出RM表达式。

但是向量M处于平面YOZ，可以行将向量M旋转到与Y轴平行，再按照上述同理操作。设旋转到Y轴矩阵为RY。

R M = R Y − 1 ⋅ Y ( − β ) ⋅ R Y RM=RY^{-1}\cdot Y(-\beta)\cdot RY RM=RY−1⋅Y(−β)⋅RY

= X ( − γ ) − 1 ⋅ Y ( − β ) ⋅ X ( − γ ) =X(- \gamma)^{-1}\cdot Y(-\beta)\cdot X(- \gamma) =X(−γ)−1⋅Y(−β)⋅X(−γ)

致此，所有旋转都转化成和X轴，Y轴相关的旋转。

求解过程

RY计算。

RY的作用是把M转到与Y轴相同位置。

M可以由A与X叉乘得到

设 M ＝ ( 0 , M y , M z ) , 由于 M 处于 Y O Z 平面，可知 M x = 0 设M＝(0, My, Mz), 由于M处于YOZ平面，可知Mx=0 设M＝(0,My,Mz),由于M处于YOZ平面，可知Mx=0

由上图可以知

R Y = X ( − γ ) = X ( γ ) T RY=X(-\gamma)=X(\gamma)^T RY=X(−γ)=X(γ)T

= [ 1 0 0 0 c o s γ − s i n γ 0 s i n γ c o s γ ] T =\begin{bmatrix}1&0&0\\0&cos\gamma&-sin\gamma\\0&sin\gamma&cos\gamma\end{bmatrix}^T = 1000cosγsinγ0−sinγcosγ T

= [ 1 0 0 0 c o s γ s i n γ 0 － s i n γ c o s γ ] =\begin{bmatrix}1&0&0\\0&cos\gamma&sin\gamma\\0&－sin\gamma&cos\gamma\end{bmatrix} = 1000cosγ－sinγ0sinγcosγ

= [ 1 0 0 0 M y M z 0 － M z M y ] =\begin{bmatrix}1&0&0\\0&My&Mz\\0&－Mz&My\end{bmatrix} = 1000My－Mz0MzMy

R Y − 1 = R Y T RY^{-1}=RY^T RY−1=RYT

有了RY后，可以先将A乘上RY。这样A就会被旋转到平面ZOX上来。

A ′ = R Y ⋅ A = ( A x ′ , 0 , A z ′ ) A' = RY\cdot A = (Ax',0, Az') A′=RY⋅A=(Ax′,0,Az′)

同理，

R X = Y ( − β ) = Y ( β ) T RX=Y(-\beta) = Y(\beta)^T RX=Y(−β)=Y(β)T

= [ c o s β 0 − s i n β 0 1 0 s i n β 0 c o s β ] = \begin{bmatrix}cos\beta&0&-sin\beta\\0&1&0\\sin\beta&0&cos\beta\end{bmatrix} = cosβ0sinβ010−sinβ0cosβ

= [ A x ′ 0 A z ′ 0 1 0 － A z ′ 0 A x ′ ] = \begin{bmatrix}Ax'&0&Az'\\0&1&0\\－Az'&0&Ax'\end{bmatrix} = Ax′0－Az′010Az′0Ax′

旋转后的P’

P ′ = R Y − 1 ⋅ R X − 1 ⋅ X ( α ) ⋅ R X ⋅ R Y ⋅ P P'=RY^{-1}\cdot RX^{-1}\cdot X(\alpha)\cdot RX\cdot RY\cdot P P′=RY−1⋅RX−1⋅X(α)⋅RX⋅RY⋅P

代码实现

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namespace acamcad {const double pi = acos(-1);using Point = Eigen::Vector3d;class RigidRTMatrix {private:Eigen::Matrix3d mat;Eigen::Vector3d trans;public:RigidRTMatrix(Point start, Point end, double theta) {cout << "generate RigidRTMatrix 2" << endl;Eigen::Vector3d v = end - start;cout << "v:" << v << endl;cout << "angle:" << theta << endl;assert(!v.isZero());// Point::Zero();v.normalize();Eigen::Vector3d X(1,0,0);Eigen::Vector3d m = v.cross(X);// todo m=0时特殊处理if (m.isZero()) {if (v.dot(X) > 0) m = { 0,1,0 }; // 直接等于Y轴else m = { 0,-1,0 }; // 等于Y轴的反轴}auto RY = GetRY(m);// 将v 旋转至ZOX 平面。auto vZOX = RY * v;auto RX = GetRX(vZOX);auto Xrotate = GetXRotate(theta);mat = RY.transpose() * RX.transpose() * Xrotate * RX * RY;cout << "mat create :" << mat << endl;}RigidRTMatrix() {}// 给定YOX平面上的单位M向量，将其旋转到Y轴上。Eigen::Matrix3d GetRY(Eigen::Vector3d m) {assert(!m.isZero());m.normalize();Eigen::Matrix3d RY;RY.setIdentity();RY(1, 1) = m.y();RY(1, 2) = m.z();RY(2, 1) = -m.z();RY(2, 2) = m.y();return RY;}// 给定ZOX平面上的单位M向量，将其旋转到X轴上。Eigen::Matrix3d GetRX(Eigen::Vector3d m) {assert(!m.isZero());m.normalize();Eigen::Matrix3d RX;RX.setIdentity();RX(0, 0) = m.x();RX(0, 2) = m.z();RX(2, 0) = -m.z();RX(2, 2) = m.x();return RX;}// 给定ZOX平面上的单位M向量，将其旋转到X轴上。Eigen::Matrix3d GetXRotate(double theta) {double rad = theta / 180 * pi;Eigen::Matrix3d X;X.setIdentity();X(1, 1) = cos(rad);X(1, 2) = -sin(rad);X(2, 1) = sin(rad);X(2, 2) = cos(rad);return X;}double angleMod(double theta) {while (theta < -180)theta += 360;while (theta > 180)theta -= 360;return theta;}Point Trans(Point &a) {return mat * a;}friend static RigidRTMatrix operator*(RigidRTMatrix& a, RigidRTMatrix& b) {RigidRTMatrix multi;multi.mat = a.mat * b.mat;return multi;}};
}

数据测试

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效果展示

往外的三条线分别是X,Y,Z中间那么是向量（1，1，1），红点是（0.5,0,0.5)
绿点是红点沿（1，1，1）逆时针转90度结果。

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