背景

略

效用函数

U(E,D)=[1D+1]α[min⁡(E,1)]1−αα表示对风险的厌恶程度U(E,D)=[\frac1{D+1}]^\alpha[\min(E,1)]^{1-\alpha}\\\alpha表示对风险的厌恶程度U(E,D)=[D+11]α[min(E,1)]1−αα表示对风险的厌恶程度

风险资产表示

已知单次抽卡时，出货率为p，沉船率q=1−p则n次抽卡中:出货期望E=np出货方差D=npq不妨设150宝石为1单位价格则预算约束为I=n消去参数n，我们得到D=qE其中每一个确定的点(E0,D0)都是给定预算I0下的期望和方差以p=0.35%为例，绘图如下：\begin{aligned} &已知单次抽卡时，出货率为p，沉船率q=1-p\\ &则n次抽卡中:\\ &出货期望E=np\\ &出货方差D=npq\\ &不妨设150宝石为1单位价格\\ &则预算约束为I=n\\ &消去参数n，我们得到D=qE\\ &其中每一个确定的点(E_0,D_0)都是给定预算I_0下的期望和方差\\ &以p=0.35\%为例，绘图如下：\\ \end{aligned}已知单次抽卡时，出货率为p，沉船率q=1−p则n次抽卡中:出货期望E=np出货方差D=npq不妨设150宝石为1单位价格则预算约束为I=n消去参数n，我们得到D=qE其中每一个确定的点(E0,D0)都是给定预算I0下的期望和方差以p=0.35%为例，绘图如下：

求解形式解

由于大多数人吃井后不再抽卡，故n≤300,E≤1.05∼1（若吃井后仍继续抽卡，则表明重复角色带来的效用为正，原预算约束不适用）问题转换为求解该最大化问题：maxU=[1D+1]αE1−αs.t.D=qE拉格朗日函数L=[1D+1]αE1−α−λ(D−qE)极值条件∂L∂D=∂L∂E=∂L∂λ=0即−α[E(D+1)]1−α−λ=0(1−α)[E(D+1)]−α+qλ=0D−qE=0解得极值点(E∗,D∗)=(4α−1−3−12q,4α−1−3−12)对应的最小预算I=n=4α−1−3−12pq\begin{aligned} &由于大多数人吃井后不再抽卡，故n\le300,E\le1.05\sim1\\ &（若吃井后仍继续抽卡，则表明重复角色带来的效用为正，原预算约束不适用）\\ &问题转换为求解该最大化问题：\\ &\textbf{max }U=[\frac1{D+1}]^\alpha E^{1-\alpha}\\ &\textbf{ s.t. }D=qE\\ &拉格朗日函数\mathcal L=[\frac1{D+1}]^\alpha E^{1-\alpha}-\lambda(D-qE)\\ &极值条件\frac{\partial\mathcal L}{\partial D}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial E}=\frac{\partial\mathcal L}{\partial \lambda}=0\\ &即\\&-\alpha[E(D+1)]^{1-\alpha}-\lambda=0\\ &(1-\alpha)[E(D+1)]^{-\alpha}+q\lambda=0\\ &D-qE=0\\ &解得极值点(E^*,D^*)=(\frac{\sqrt{4\alpha^{-1}-3}-1}{2q},\frac{\sqrt{4\alpha^{-1}-3}-1}{2})\\ &对应的最小预算I=n=\frac{\sqrt{4\alpha^{-1}-3}-1}{2pq}\\ \end{aligned}由于大多数人吃井后不再抽卡，故n≤300,E≤1.05∼1（若吃井后仍继续抽卡，则表明重复角色带来的效用为正，原预算约束不适用）问题转换为求解该最大化问题：max U=[D+11]αE1−α s.t. D=qE拉格朗日函数L=[D+11]αE1−α−λ(D−qE)极值条件∂D∂L=∂E∂L=∂λ∂L=0即−α[E(D+1)]1−α−λ=0(1−α)[E(D+1)]−α+qλ=0D−qE=0解得极值点(E∗,D∗)=(2q4α−1−3−1,24α−1−3−1)对应的最小预算I=n=2pq4α−1−3−1

求解特殊解

最优次数	α=0.4\alpha=0.4α=0.4	0.50.50.5	0.60.60.6	0.70.70.7	0.80.80.8	0.90.90.9
p=0.7%p=0.7\%p=0.7%	118.4	88.9	65.8	46.6	29.8	14.5
0.35%0.35\%0.35%	235.9	117.2	131.2	92.8	59.4	28.9
0.15%0.15\%0.15%	549.4	412.6	305.4	216.2	138.3	67.4

结论

结论似乎是反直觉的：池子概率越低，最小预算/最优次数反而越高。
但注意到，整个效用最大化问题是建立在宝石不够一井又想抽到当期up这一目标之上的。也就是说:最优次数nnn是建立在出货率越低的池子，想出货就得抽更多次这一认知上的，出货率越低，消费者对抽取次数的预期就越高。
换言之，出货率越低，决定下池的消费者对抽取次数的容忍度就越高。
以α=0.9,p=0.15%\alpha=0.9,p=0.15\%α=0.9,p=0.15%为例，当消费者决定抽某个非当期up的三星角色时，他已经预期到并接受了自己要抽很多次才能出货。因此他的策略是到出货为止，最多抽67次。
我们不能认为他抽67次时的总效用是最高的，但在综合考虑风险和收益后，如果第67抽还不出货，从制定决策时的角度看，就应当优先考虑止损。

单次抽卡决策

由于过去抽卡的成本是沉没成本，而抽卡的固定成本为000，故孤立讨论单次抽卡决策的结论必然是不抽卡

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