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四、矩阵全部特征值的QR迭代算法 1、矩阵的两种正交变换 二次样条插值的误差分析 要求：从山脚开始经居民点至矿区修一条公路(一般公路、桥、隧道)给出路线设计方案使工程成本最小。 3200 1430 1450 1460 1550 1500 1600 2800 950 1190 1370 1500 1200 1100 2400 910 1090 1270 1500 1200 1100 2000 880 1060 1230 1390 1500 1500 1600 830 980 1180 1320 1450 1420 1200 740 880 1080 1130 1250 1280 800 *650 760 880 970 1020 1050 400 510 620 730 800 850 870 0 370 470 550 660 670 690 Y/x 0 400 800 1200 1600 2000 部分数据表： 工程种类 一般路段 桥梁 隧道 工程成本(元/m) 300 1500(长度<=300m),3000(长度>300m) α=上升高度/水平距离 <=0.125 =0 <=0.100 2000 工程要求： 例三： 水道测量模型(1989.美国) 问题 水平方向的坐标x，y以Td(=0.914m)为单位,水深方向Z 以Ft(=30.48cm)为单位.下表给出了水面直角坐标(x,y)处的水深Z，这是在低潮时测得的。如果船的吃水深度为5Ft，试问在矩形城(75，200)(-50，50)中行船应避免进入那些区域? 工作：1、要根据数据做出①地貌图(三维),②等高线(等势图)二维。2、由坡度限制，沿给定的网格点选择路线 x 129.0 140.0 108.5 88.0 185.5 195.5 105.5 y 7.5 141.5 28.0 147.0 22.5 137.5 85.5 z 4 8 6 8 6 8 8 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 -6.5 -81.0 3.0 56.5 -66.5 84.0 -38.5 9 9 8 8 9 4 9 x y z 工作：将海底曲面图绘制出来。 总之：根据给定采样数据而定出其实际分布图，这就是数值模拟问题，采用的方法就是插值和拟合。 §3.2 数值模拟概论 在科学与工程等实际问题中，实际数学模型或者难于建立或者难于求解，但其数据模型(由实验或测量所得到的一批离散数据)容易得到。能否通过处理这些数据来建立实际模型呢？ 这里我们仅以一维问题来说明。 给定：y=f(x)数据 通过这批数据希望找到对象y=f(x)的更多的信息(或全部信息)。通常只能找到f(x)的近似表达式φ(x),φ(x)是根据研究对象的特征确定的。 对象是指数增(减)并最终稳定到某个值,则 对象是直线运动、匀加速运动，则 一般地，我们都要通过对研究对象实际的了解，做以下工作： 1、确定它的基本特征函数 2、对这些特征函数(基函数)进行一种恰当的构造，得到f(x)近似的数学模型: 最常用也就是最简单的一种构造方式就是 ： 3、按某种寻优策略，由已知数据确定未知参数 寻优策略的不同，产生了不同的数值逼近方法 §3.3 插值方法 寻优策略就是过点，即 根据需要可附加补充原则: 1、p阶光滑度 2、边界条件： 处光滑性,周期性等 (整体)误差： 插值方法中最常用的一类就是代数插值。 代数插值：即多项式的插值 一、代数插值 (一)拉格朗日插值公式(Lagrange) 给定：y=f(x)数据 确定次数不超过n的多项式P(x),使 拉格朗日插值公式的讨论 线性插值公式(n=1的情况) 显然，两插值节点越近，越精确。 2、二次插值(抛物线插值，n=2的情况) n越大精度越高！是这样吗？下面我们看一实例。 实例演示：分别用n=1,2,4,8, 16, 32时的拉格朗日插值逼近f(x)。 function f=lagelangri(t,y,x) n=length(t); for j=1:n l(j)=1; for i=1:n if i~=j l(j)=l(j)*(x-t(i))/(t(j)-t(i)); end end end f=y*l