背包问题C/C++语言

基于C语言的背包问题（语言只是工具，重要的是思想）

在解决问题之前，为描述方便，首先定义一些变量：Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积，定义V(i,j)：当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值，同时背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选）。

1、建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；

2、寻找约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；

3、寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：

包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)，但价值增加了v(i)；

由此可以得出递推关系式：

j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
j>=w(i) V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
这里需要解释一下，为什么能装的情况下，需要这样求解（这才是本问题的关键所在！）：

可以这么理解，如果要到达V(i,j)这一个状态有几种方式？

肯定是两种，第一种是第i件商品没有装进去，第二种是第i件商品装进去了。没有装进去很好理解，就是V(i-1,j)；装进去了怎么理解呢？如果装进去第i件商品，那么装入之前是什么状态，肯定是V(i-1,j-w(i))。由于最优性原理（上文讲到），V(i-1,j-w(i))就是前面决策造成的一种状态，后面的决策就要构成最优策略。两种情况进行比较，得出最优。

4、填表，首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

下面给出两个例题：

1、其中i表示第i个物品，v[i]表示第i个物品的价值，w[i]表示第i个物品的重量（或者说是体积，只是说法不同）***这里的C=13，即容量为13

根据该题，可以画表：（也是题解）

从表中可知：28即为最大容量为13，能获得的最大价值

2、

这里直接给出表：

代码如下：！！！！！：光说不练，一点用也没有，只有实际动手了，知识、技能才是自己的。

代码写的比较仓促，可能存在bug，还请谅解。

这份代码主要是提供一个简单的思路吧：

#include<stdio.h>
#include<string.h>void toBag(int v[],int w[],int len,int size ){printf("\n最大容量为：%d\n",size);printf("\n商品的体积为：\n");for (int i = 0 ; i<len;i++){printf("%4d ",w[i]);} printf("\n商品的价值为：\n");for (int i = 0 ; i<len;i++){printf("%4d ",v[i]);}len=len+1;size=size+1;
//  printf("%d  %d",len,size);int p[len][size]={1};int record[len][size]={0};memset(p,0,sizeof(p));memset(record,0,sizeof(record));for (int i = 1; i<len;i++){for (int j = 1 ; j<size;j++){if (j<w[i-1]){//如果容量不够 .就不选当前这一物品 p[i][j]=p[i-1][j];}else{int temp = j-w[i-1];p[i][j]=p[i-1][j]>(p[i-1][temp]+v[i-1])?p[i-1][j]:(p[i-1][temp]+v[i-1]);if (p[i-1][j]<(p[i-1][temp]+v[i-1])){record[i][j]=1;       } }
//        p[i][j]=1;}}printf("\n\n记录表:") ; for (int i = 0; i<len;i++){printf("\n");for (int j = 0 ; j<size;j++){printf("%4d ",record[i][j]);}}  printf("\n");printf("\n\n最大价值表：");for (int i = 0; i<len;i++){printf("\n");for (int j = 0 ; j<size;j++){printf("%4d ",p[i][j]);}}  printf("\n"); int i = len-1;int j=size-1;while(i>0){if (record[i][j]==1){printf("第%d个物品已选\n",i);j-=w[i-1];}else{printf("第%d个物品未选\n",i);}i--;}}int main(){int w[] ={2,3,4,5};//物品的体积 int v[] = {3,4,5,6};//物品的价值 int size=8;//背包的最大容量 toBag(v,w,sizeof(v)/4,size);return 0;
}

下面是一些运行结果：

第一题运行结果：

第二题运行结果：

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代码如下：！！！！！：光说不练，一点用也没有，只有实际动手了，知识、技能才是自己的。

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