数论-Lucas（卢卡斯定理）

Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p，p为素数的值。

对于C(n, m) mod p。这里的n，m，p（p为素数）都很大的情况。就不能再用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了。

应用：大组合数求模

表达式

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

求C(n, m) mod 10007

/*int Lucas (ll n , ll m , int p)
{return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p,m/p,p)%p ;
}*/
//comb()函数中，因为q ， r < p , 所以这部分暴力完成即可。
//C++求C(n, m) mod 10007    版本二 要求p z在100000左右
ll f[N];
void init(int p)
{       //f[n] = n!f[0] = 1;for (int i=1; i<=p; ++i) f[i] = f[i-1] * i % p;
}
ll pow_mod(ll a, ll x, int p)
{ll ret = 1;while (x){if (x & 1)  ret = ret * a % p;a = a * a % p;x >>= 1;}return ret;
}ll Lucas(ll n, ll k, int p)        //C (n, k) % p
{ll ret = 1;while (n && k) {ll nn = n % p, kk = k % p;if (nn < kk) return 0;  //inv (f[kk]) = f[kk] ^ (p - 2) % pret = ret * f[nn] * pow_mod (f[kk] * f[nn-kk] % p, p - 2, p) % p;n /= p, k /= p;}return ret;
}
int main(void)
{init (p);printf ("%I64d\n", Lucas (n, m, p));return 0;
}

也可以采用下面的方法，先把mod的阶乘存起来：

void init(int mod){                         //对mod取余后，一定小于mod，因此把mod的阶乘存起来就够用f[0] = 1;for(int i = 1 ; i <= mod ;i ++ ){f[i] = f[i-1] * i % mod;}
}void ex_gcd(LL a,LL b,LL& d,LL& x,LL& y)
{if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }else{ ex_gcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}LL inv(LL a,LL m)               //欧几里得逆元，也可以费马小定理
{LL d, x, y;ex_gcd(a, m, d, x, y);return d == 1 ? (x+m)%m : -1;
}LL Lucas(LL m , LL n , LL p){LL  res = 1;while(n && m){LL n1 = n % p ;LL m1 = m % p ;res = res * f[n1] * inv(f[n1-m1],p) * inv(f[m1],p)%p;n /= p;m /= p;}return ( res % p + p ) % p;
}

数论-Lucas（卢卡斯定理）相关推荐

『数学』--数论--组合数+卢卡斯定理+扩展卢卡斯定理
组合数: 在N个数中选取M个数,问选的方式有几种? 直接递归暴力简单 #include<cstdio> const int N = 2000 + 5; const int MOD = (i ...
教你一波Lucas(卢卡斯)定理在数论解题中的应用
首先,Lucas(卢卡斯)定理是什么?有什么用? Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p,p为素数的值.(注意:p一定是素数) 有人会想,C(n,m)不能用C(n, m) = C(n - 1 ...
卢卡斯定理扩展卢卡斯
卢卡斯定理&扩展卢卡斯 Lucas EXlucas 例题 Lucas 卢卡斯定理: ( m n ) = ( m p n p ) ∗ ( m ( m o d p ) n ( m o d p ) ...
数论-卢卡斯定理（lucas)与拓展卢卡斯定理 (exlucas)
卢卡斯定理(lucas) [用途] 求解 C n m % p C_{n}^{m}\% p Cnm%p,其中m,n较大,p较小且为素数 [结论] C n m ≡ C n / p m / p C n % ...
数学--数论--HDU 4675 GCD of Sequence(莫比乌斯反演+卢卡斯定理求组合数+乘法逆元+快速幂取模）
先放知识点: 莫比乌斯反演卢卡斯定理求组合数乘法逆元快速幂取模 GCD of Sequence Alice is playing a game with Bob. Alice shows N i ...
【数论：组合数学】卢卡斯定理
知识点卢卡斯定理转换下来就一个公式: 模板题洛谷 P3807 [模板]卢卡斯定理/Lucas 定理题目描述给定整数 n, m, p 的值,求出的值. 输入数据保证 p 为质数. 注: C 表 ...
卢卡斯定理（Lucas）
卢卡斯定理(Lucas) 证明如下: 结论: 卢卡斯定理的时间复杂度是plogN 代码如下: #include<iostream> using namespace std;int n; ...
【luogu P3807】【模板】卢卡斯定理/Lucas 定理（含 Lucas 定理证明）
[模板]卢卡斯定理/Lucas 定理题目链接:luogu P3807 题目大意求 C(n,n+m)%p 的值. p 保证是质数. 思路 Lucas 定理内容对于非负整数 nnn,mmm,质数 p ...
《夜深人静写算法》数论篇 - (22) 卢卡斯定理
文章目录前言一.问题引入 1.递推公式 2.通项公式二.卢卡斯定理 1.定义 2.证明 1)引理1 2)引理2 3)卢卡斯定理前言卢卡斯定理,ACM刷题中遇到过,用于组合数取模. 一 ...
OI模板卢卡斯定理
卢卡斯定理 / Lucas\text{Lucas}Lucas定理现有问题: 给定整数 n,m,pn,m,pn,m,p,求 (nm)modp\dbinom{n}{m}\bmod p(mn)modp, ...

数论-Lucas（卢卡斯定理）

数论-Lucas（卢卡斯定理）相关推荐

最新文章

热门文章