前言

给定 nnn 种物品和一个背包。物品 iii 的重量是 wiwiwi，其价值为 vivivi，背包的容量为 ccc。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

一、原理

0−0 -0−111 背包问题是一个特殊的整数规划问题。

maxmaxmax ∑i−1nvixi{\textstyle \sum_{i-1}^{n}} v_{i} x_{i}∑i−1nvixi

{∑i=1nwixi≤Cxi∈(0,1),1≤i≤n\begin{cases}{\textstyle \sum_{i=1}^{n}} w_{i} x_{i} \le C \\ x_{i} \in (0,1),1\le i \le n \end{cases}{∑i=1nwixi≤Cxi∈(0,1),1≤i≤n

1.1 最优子结构性质

maxmaxmax ∑i=2nvixi{\textstyle \sum_{i=2}^{n}} v_{i} x_{i}∑i=2nvixi

{∑i=2nwixi≤C−w1y1xi∈(0,1),2≤i≤n\begin{cases}{\textstyle \sum_{i=2}^{n}} w_{i} x_{i} \le C-w_{1}y_{1} \\ x_{i} \in (0,1),2\le i \le n \end{cases}{∑i=2nwixi≤C−w1y1xi∈(0,1),2≤i≤n

1.2 递归关系

maxmaxmax ∑k=invkxk{\textstyle \sum_{k=i}^{n}} v_{k} x_{k}∑k=invkxk

{∑k=inwkxk≤jxk∈(0,1),i≤k≤n\begin{cases}{\textstyle \sum_{k=i}^{n}} w_{k} x_{k} \le j \\ x_{k} \in (0,1),i\le k \le n \end{cases}{∑k=inwkxk≤jxk∈(0,1),i≤k≤n

设所给 0−10-10−1 背包问题的子问题的最优值为 m(i，j)，即 m(i，j)是背包容量为 j，可选择物品为 i，i+1，…，n 时 0-1背包问题的最优值。由 0-1背包问题的最优子结构性质，可以建立计算 m(i，j)的递归式如下：

二、算法描述

2.1 算法描述

伪代码：

2.2 图解

2.3 构造最优解

三、0−10-10−1 背包问题相关题目

3.1 题目

已知有5个物体，它们的重量分别为：2，2，4，5，4，各物体的价值依次为6，3，5，4，6，背包大小为10，使用动态规划法求矩阵m[i][j]，并给出最优解。
修改数据为：5个物体，它们的重量分别为：1，1，2，3，2，各物体的价值依次为6，3，5，4，6，背包大小为6，使用动态规划法求矩阵m[i][j]，并给出最优解

3.2 源程序(Java求解0−10-10−1背包问题)

/*** 0-1背包问题（动态规划法求解）*/
public class E3_9 {//物品的个数+1(第一个数我写成0)static int N = 6;//static int C = 7;static int C = 11;/*** 程序的入口* @param args*/public static void main(String[] args) {//int n = N-1;//背包的容量int c = C-1;int i;//物体的重量//int w[] = new int[N];int w[] = new int[]{0,2,2,4,5,4};//int w[] = new int[]{0,1,1,2,3,2};//物体的价值//int v[] = new int[N];int v[] = new int[]{0,6,3,5,4,6};//动态规划法求解过程的矩阵int m[][] = new int[N][C];//选择的结果int x[] = new int [N];/*for (i = 1; i < N; i++) {w[i] = 1+(int) (Math.random()*5);v[i] = 1+(int) (Math.random()*10);}*/knapsack(v,w,c,m);traceback(m,w,c,x);System.out.printf("背包能装的最大价值为："+"%d  \n ",m[1][c]);for (i = 1; i <= c; i++) {System.out.printf("%2d  \t",i);}System.out.printf("重量 价值\n");for (i = 1; i < N; i++) {System.out.printf("%d:",i);for (int j = 1; j <= c; j++) {System.out.printf("%2d  \t",m[i][j]);}System.out.printf("%2d%4d\n",w[i],v[i]);}System.out.printf("\n\n物品的重量");for (i = 1; i < N; i++) {System.out.printf("%2d   \t",w[i]);}System.out.printf("\n物品的价值");for (i = 1; i < N; i++) {System.out.printf("%2d   \t",v[i]);}System.out.printf("\n选择的结果");for (i = 1; i < N; i++) {System.out.printf("%2d   \t",x[i]);}System.out.printf("\n");}/*** 由0-1背包问题的最优子结构性质建立的递归式* @param v 存储物品价值的数组* @param w 存储物品重量的数组* @param c 背包容量* @param m 动态规划法求解过程的矩阵*/public static void knapsack(int []v,int []w,int c,int [][]m){int n=v.length-1;int jMax=Math.min(w[n]-1,c);for(int j=0;j<=jMax;j++)  m[n][j]=0;for(int j=w[n];j<=c;j++)  m[n][j]=v[n];for(int i=n-1;i>0;i--){jMax=Math.min(w[i]-1,c);for(int j=0;j<=jMax;j++)m[i][j]=m[i+1][j];for(int j=w[i];j<=c;j++)m[i][j]=Math.max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);}//m[1][c]=m[2][c];//对于i=1时的两种情况if(c>=w[1])m[1][c]=Math.max(m[2][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);elsem[1][c]=m[2][c];}/*** 构造最优解* @param m 动态规划法求解过程的矩阵* @param w 存储物体的重量的数组* @param c 背包容量* @param x 存储选择结果的数组*/public static void traceback(int [][]m,int []w,int c,int []x){int n=w.length-1;for(int i=1;i<n;i++)if(m[i][c]==m[i+1][c])x[i]=0;else {x[i]=1;c-=w[i];}x[n]=(m[n][c]>0)?1:0;}
}

3.3 运行结果

总结

动态规划基本步骤

找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
递归地定义最优值。
以自底向上的方式计算出最优值。
根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

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