IMO 2017 T1解答
Puzzle栏目开通
生活中经常做到有意思的题目,自己也会有些巧妙的解法。当时不记下来很快会忘记,非常可惜。所以我在博客里开了Puzzle这个栏目,记录有意思的谜题。那么这个栏目的第一题,就献给今天早上刚刚出炉的IMO 2017吧。
IMO 2017 T1解答
先看看题目
题意不复杂,定义一个数列。问初值符合的条件使得题设成立。
首先要观察到,题设条件等价于去掉有限项开始循环,这个数列循环的部分不会太大,因为开根号这个运算衰减地太快了。既然题设条件如此强,我们就按照题设条件来求出一个初值的必要条件。要注意做题要利用根号衰减地快保证循环节不会太大,所以必定要利用数论性质进行不等式放缩。我的解答就按照这个思路写出了第一部分。
第一部分得到了初值的必要条件和此时的循环节必然为3,6,9。再证明第二部分充分性。
那么,首先一个合理的思路是证明必然会出现3,6,9。如果直接用不等式放缩那就很麻烦,因为题设实在太强了,保证有限次加3后必然开根号衰减,这是不等式放缩的基础,如果没有题设,证明起来手段就很弱。所以我们干脆反证法,因为有限次加3后必然开根号的反面几乎和题设一样强:无限次加3不出现平方数,这是不可能的。所以我们可以方便地写出几乎完全利用第一部分的解答。
作为IMO的第一题,难度比CMO还略低一点,但是相比CMO,感觉题目明显更有趣,出得更好。这个解法的出发点其实很简单,就是依赖开根号衰减的数学直觉,关键是怎么用不等式描述自己的想法。
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