基本概念

伽罗瓦群：

设K是域F的有限扩张，则K的所有F-自同构的集合关于映射的乘法
构成一个群，称为K在F上的伽罗瓦群，记为Gal(K/F)

不变子域(K的G不变子域)InvG：

设G为域K的自同构群AutK的一个子群，则集合a,a∈K∣g(a)=a,∀g∈G{ a,a \in K| g(a)=a,\forall g\in G}a,a∈K∣g(a)=a,∀g∈G

伽罗瓦扩张：

若域F的有限扩张K满足 Inv (Gal(K/F))= F,
则称K是F的伽罗瓦扩张.
按照伽罗瓦群和不变子域的定义，一般有
F⊆Inv(Gal(K/F)),F\subseteq Inv (Gal(K/F)),F⊆Inv(Gal(K/F)),
等号成立“K是域F的伽罗瓦扩张”

“K是域F的伽罗瓦扩张”，将是伽罗瓦基本定理成立的
条件.为了从不同角度去理解伽罗瓦扩张的特点.

定理:设K是域F的扩域，则下边三个条件是等价的:

①K是F的伽罗瓦扩张;
②K是F的有限可分正规扩张;
③K是可分多项式f®∈F[r|的分裂域.
且此时有|Gal(K/F)|=|K :F].
最后这个等式的左边表达的是“群中元素的个数”，右边表达的是“域的扩张次数”，在伽罗瓦扩张这一条件下，群和域的性质屠然可以统一在这样一个等式中.

把多项式的一个根放进去x3−5⇒Q(53)x^3-5 \Rightarrow Q(\sqrt[3]{5})x3−5⇒Q(35)
Q(53)⊆K(分裂域)Q(\sqrt[3]{5}) \subseteq K(分裂域)Q(35)⊆K(分裂域)

3.伽罗瓦基本定理

定理(伽罗瓦基本定理)设K 是域F的伽罗瓦扩张，记Gal (K/F)为G,
记R是G的所有子群的集合，
记S是域K与F间的所有 中间域 的集合，
则有
1)定义S到R的映射
Gal: E→Gal(K/E), \forall E∈S,
称之为
伽罗瓦映射，则伽罗瓦映射是可逆映射，其逆映射为R到S的映射
Inv; H→InvH, VH∈R

VH1,H2∈R,有
H2⊂H1⇔InvH2⊂InvH1H2\subset H1\Leftrightarrow InvH2\subset Inv H1H2⊂H1⇔InvH2⊂InvH1
VH1,H2∈,H2C H1,则有
[H1: H2]=[nvH2: InvH1].
VHI,H2∈R,H2C H1,则有

H2◃H1⇔H2是H1的正规扩张H2\triangleleft H1 \Leftrightarrow H2是H1的正规扩张H2◃H1⇔H2是H1的正规扩张
且此时Gal(InvH2/InvH1)≃H1/H2.同构且此时Gal (Inv H2/Inv H1)\simeq H1/H2.同构且此时Gal(InvH2/InvH1)≃H1/H2.同构
为了帮助读者理解伽罗瓦基本定理，我们做如下解释:
伽罗瓦映射(子群到不变子域的映射)及其逆映射，是本定理的核心内容.子
群集合R与中间域集合S之间建立了一一对应，

(可分扩张：一个代数扩张L/K是可分扩张，当且仅当对L中任一给定元素α，α在K上的极小多项式没有重根。)
(正规扩张：域F上的某不可约多项式，在K上存在一个根，那么在K上存在所有根)
(有限扩张是正规扩张，当扩张是某个多项式的分裂域)
可分扩展很明显不一定是正规扩张:比如Q[x]/(x³-2)是可分扩张，但不是正规扩张。
不可分扩张，只要极小多项式有重根就是不可分扩张啦。
可分扩张的充要条件是(f(x),f’(x))=1。正规扩张一定是基域的某个分裂域。

参考：https://tieba.baidu.com/p/3668618341

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