Codeforces 1016C Vasya And The Mushrooms（动态规划）

题目链接：Vasya And The Mushrooms

题意

在一个 2×n2×n2\times n 的网格内，每一格都有一个蘑菇，第一行第 iii 格内的蘑菇每分钟长大 ai" role="presentation" style="position: relative;">aiaia_i，第二行第 iii 格内的蘑菇每分钟长大 bi" role="presentation" style="position: relative;">bibib_i，VasyaVasyaVasya 从第 111 行第 1" role="presentation" style="position: relative;">111 列的网格开始走起，每分钟都只能往相邻网格内移动，每一格蘑菇都必须经过一次（不能多于一次），最后不必回到初始位置，问如何规划路线才能使 VasyaVasyaVasya 收获的蘑菇最多。

输入

第一行包含一个整数 n (1≤n≤3×105)n(1≤n≤3×105)n~(1\leq n\leq3\times10^5)，第二行为 nnn 个整数 a1,a2,⋯,an" role="presentation" style="position: relative;">a1,a2,⋯,ana1,a2,⋯,ana_1,a_2,\cdots,a_n，第三行为 nnn 个整数 b1,b2,⋯,bn " role="presentation" style="position: relative;">b1,b2,⋯,bn b1,b2,⋯,bn b_1,b_2,\cdots,b_n~，其中 1≤ai,bi≤106。1≤ai,bi≤106。1\leq a_i,b_i\leq10^6。

输出

输出最大能够收获的蘑菇数量。

样例

输入
3 1 2 3 6 5 4
输出
70
提示
最优的路线如下：最后收获的蘑菇为：0⋅1+1⋅2+2⋅3+3⋅4+4⋅5+5⋅6=700·1+1·2+2·3+3·4+4·5+5·6=700·1+1·2+2·3+3·4+4·5+5·6=70

输入
3 1 1000 10000 10 100 100000
输出
543210
提示
最优的路线如下：最后收获的蘑菇为：0⋅1+1⋅10+2⋅100+3⋅1000+4⋅10000+5⋅100000=5432100·1+1·10+2·100+3·1000+4·10000+5·100000=5432100·1+1·10+2·100+3·1000+4·10000+5·100000=543210

题解

由于每个网格都必须经过一次，所以从左上角开始的路线只有两类：“↓→↑→↓→↑→\downarrow\rightarrow\uparrow\rightarrow” 折返以及在某一次往右时停止折返，一直往右直到最后一格，然后返回，一般的情况如下（也可能在第二行一直往右，到最后从第一行返回）：

因此就是枚举中断往返开始一直往右的点，取最大值，在枚举中间点的时候，每次都需要 O(1)O(1)O(1) 地求出贡献，首先用 dfsdfsdfs 预处理出 “↓→↑→↓→↑→\downarrow\rightarrow\uparrow\rightarrow” 走法的每个点的系数（从左上角点按照“下上右”的顺序 dfsdfsdfs 就可以得到）：

然后从右往左递推一下后半段（先往右到最后，再往左回来的部分）的贡献，首先假设到某个点 iii 的时候的系数为 x" role="presentation" style="position: relative;">xxx，则后面接着所有点的系数为：

继续算从第 i−2i−2i-2 个点开始右转的贡献：

其中 x−4x−4x-4 为第 i−2i−2i-2 个点上面第二张系数图中对应的系数，对比上一张系数图可以发现，从第 iii 列到第 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn 列所有的系数贡献都减 222，而从第 i−2" role="presentation" style="position: relative;">i−2i−2i-2 到第 i−1i−1i-1 列的贡献需要根据 iii 的位置进行计算，因此就可以从 n" role="presentation" style="position: relative;">nnn 到 111 递推得到从任何一列开始右转的贡献，最终 O(2n)" role="presentation" style="position: relative;">O(2n)O(2n)O(2n) 地枚举转折点取最大值就能得到答案。

过题代码

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#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <string>
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#include <list>
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#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#include <functional>
#include <iomanip>
using namespace std;#define LL long long
const int maxn = 300000 + 100;
int n;
bool vis[2][maxn];
LL num[2][maxn], c[2][maxn], L[2][maxn], R[2][maxn];
LL sum[maxn];
const int dir[3][2] = {1, 0, -1, 0, 0, 1};bool in(int x, int y) {return x >= 0 && x < 2 && y >= 0 && y < n;
}void dfs(int x, int y, LL cc) {vis[x][y] = true;c[x][y] = cc;for(int i = 0; i < 3; ++i) {int xx = x + dir[i][0];int yy = y + dir[i][1];if(in(xx, yy) && !vis[xx][yy]) {L[xx][yy] = L[x][y] + cc * num[x][y];dfs(xx, yy, cc + 1);}}
}int main() {#ifdef Dmaxiyafreopen("test.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);#endif // Dmaxiyaios::sync_with_stdio(false);while(scanf("%d", &n) != EOF) {memset(sum, 0, sizeof(sum));for(int i = 0; i < 2; ++i) {for(int j = 0; j < n; ++j) {scanf("%I64d", &num[i][j]);sum[j] += num[i][j];vis[i][j] = false;R[i][j] = 0;}}for(int i = n - 2; i >= 0; --i) {sum[i] += sum[i + 1];}dfs(0, 0, 0);int Begin_up, Begin_down;if(n % 2 == 0) {Begin_up = n - 2;LL cc = c[0][n - 2];R[0][n - 2] = cc * num[0][n - 2] + (cc + 1) * num[0][n - 1] + (cc + 2) * num[1][n - 1] + (cc + 3) * num[1][n - 2];Begin_down = n - 1;cc = c[1][n - 1];R[1][n - 1] = cc * num[1][n - 1] + (cc + 1) * num[0][n - 1];} else {Begin_up = n - 1;LL cc = c[0][n - 1];R[0][n - 1] = cc * num[0][n - 1] + (cc + 1) * num[1][n - 1];Begin_down = n - 2;cc = c[1][n - 2];R[1][n - 2] = cc * num[1][n - 2] + (cc + 1) * num[1][n - 1] + (cc + 2) * num[0][n - 1] + (cc + 3) * num[0][n - 2];}for(int i = Begin_up; i - 2 >= 0; i -= 2) {LL cc = c[0][i - 2];R[0][i - 2] = R[0][i] - sum[i] * 2;R[0][i - 2] += cc * num[0][i - 2] + (cc + 1) * num[0][i - 1];cc += (n - i) * 2 + 2;R[0][i - 2] += cc * num[1][i - 1] + (cc + 1) * num[1][i - 2];}for(int i = Begin_down; i - 2 >= 0; i -= 2) {LL cc = c[1][i - 2];R[1][i - 2] = R[1][i] - sum[i] * 2;R[1][i - 2] += cc * num[1][i - 2] + (cc + 1) * num[1][i - 1];cc += (n - i) * 2 + 2;R[1][i - 2] += cc * num[0][i - 1] + (cc + 1) * num[0][i - 2];}LL aans = 0;for(int i = 0; i < 2; ++i) {for(int j = 0; j < n; ++j) {if((i + j) % 2 == 0) {aans = max(aans, L[i][j] + R[i][j]);}}}printf("%I64d\n", aans);}return 0;
}

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