ACM入门-最小生成树及其应用

前置知识

图的存储、并查集

什么是最小生成树？

今天要讲解的算法是最小生成树，那么什么是最小生成树呢？由于是面向新手的算法教程，尽量用大白话来讲清楚最小生成树这个定义。
假定有这么一个问题，有6个城市，城市之间有一些道路，修道路需要花费不同的金额，现在要你选择其中一些道路，使得所有城市可以互相到达（联通）且花费最小。这个问题的答案就是最小生成树，我们把这个问题抽象为一张图，每个城市是一个点，城市与城市的道路是一条无向边。

如何求解这个问题？

Prim算法

算法思路：将所有城市分为两个集合，一个集合X是已经在最小生成树中的城市，另外一个集合S是不在最小生成树的城市。一开始所有的城市都在集合S中，集合X为空，第一步任意选择一个点加入X，接着是一个循环，每次选择集合S的城市中离集合X中城市最近的一个城市，加入X中并把这条道路加入最小生成树中直到所有点都加入X中。

如上图，首先X为空集，挑选A作为起始起点，此时有3个城市B、C、D与A联通{A<->{B,C,D}}其权值分别为{6，5，1}，我们选择道路A<->C，将C加入X中，此时可选择的边有{A<->{B,D},C<->{B,D,E,F}}同样的我们选择最短一条边，将F加入X，如此反复。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int mp[105][105],st[105],d[105];//mp存储无向边，st表示该城市是否被加入集合X，d表示 集合S到集合X的花费值
int n;
int prim()
{memset(d,0x3f,sizeof(d));//初始化X无点，集合S和集合X不连通int res=0;d[1]=0;//选择1号点加入集合X，花费为0for(int i=1;i<=n;i++){int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++){if(st[j]==0&&(t==-1||d[t]>d[j]))t=j;//如果点在X中就不要重复选了，选择一个集合X外最小的点}// cout<<t<<" ";st[t]=1;//入集合Xres+=d[t];//这条边加入最小生成树中for(int j=1;j<=n;j++)d[j]=min(d[j],mp[t][j]);//加入新点后，更新一下两个集合之间的距离}return res;
}
int main()
{cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)cin>>mp[i][j];cout<<prim();
}

Kruskal算法

算法思路：将所有边排序，每次选择最短的一条边，如果这条边连接的两个点不在同一个集合中，将两点相连。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct edge{int a,b,w;//边的起点和终点以及权值bool operator <(const edge&t)const{//由小到大排序return w<t.w;}
}e[1005];
int p[1005];
int find(int x)//并查集来快速判断两点是否在一个集合
{if(p[x]!=x)return p[x]=find(p[x]);return p[x];
}
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=m;i++)//读入边{int a,b,c;cin>>a>>b>>c;e[i]={a,b,c};}sort(e+1,e+1+m);//排序for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=i;int res=0;for(int i=1;i<=m;i++){int a,b,c;a=find(e[i].a),b=find(e[i].b),c=e[i].w;if(a!=b)p[a]=b，res+=c;//如果两个点不在同一个集合，连上边。}cout<<res;}