抽样分布

总体的分布往往是未知的，或是部分地未知的.根据实际问题的需要，有时需对总体未知的重要数字特征（如总体数学期望、总体方差）或总体分布中所含的未知参数进行统计推断.这类问题称为参数统计推断。

在参数统计推断问题中，经常需要利用总体的样本构造出合适的统计量，并使其服从或渐近地服从已知的确定分布，统计学中泛称统计量的分布为抽样分布。

正态分布性质

设随机变量XXX服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu ,{\sigma ^2})N(μ,σ2)，则X−μσ∼N(0,1){{X - \mu } \over \sigma } \sim N(0,1)σX−μ∼N(0,1)，即正态分布可以标准化。
设随机变量XXX服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu ,{\sigma ^2})N(μ,σ2)，则E(X)=μ,D(X)=σ2E(X) = \mu ,D(X) = {\sigma ^2}E(X)=μ,D(X)=σ2

单正态总体的抽样分布

定理：设总体XXX服从正态分布N(μ,σ2)N(\mu ,{\sigma ^2})N(μ,σ2)，(X1,X2,...,Xn)({X_1},{X_2},...,{X_n})(X1,X2,...,Xn)是其容量为nnn的一个样本，Xˉ\bar XXˉ与S2{S^2}S2分别为此样本的样本均值与方差，则有：

Xˉ∼N(μ,σ2n)\bar X \sim N(\mu ,{{{\sigma ^2}} \over n})Xˉ∼N(μ,nσ2)
n−1σ2S2∼χ2(n−1){{n - 1} \over {{\sigma ^2}}}{S^2} \sim {\chi ^2}(n - 1)σ2n−1S2∼χ2(n−1)
Xˉ\bar XXˉ与S2{S^2}S2相互独立

证明：1性质根据正态分布的线性组合还是正态分布即可得出，2和3性质由于证明较复杂，从略。

定理：设(X1,X2,...,Xn)({X_1},{X_2},...,{X_n})(X1,X2,...,Xn)为正态总体X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu ,{\sigma ^2})X∼N(μ,σ2)的样本，Xˉ\bar XXˉ与S2{S^2}S2分别为该样本的均值和方差，则有：

U=Xˉ−μσ/n∼N(0,1)U = {{\bar X - \mu } \over {\sigma /\sqrt n }} \sim N(0,1)U=σ/nXˉ−μ∼N(0,1)
n−1σ2S2∼χ2(n−1){{n - 1} \over {{\sigma ^2}}}{S^2} \sim {\chi ^2}(n - 1)σ2n−1S2∼χ2(n−1)
T=Xˉ−μS/n∼t(n−1)T = {{\bar X - \mu } \over {S/\sqrt n }} \sim t(n - 1)T=S/nXˉ−μ∼t(n−1)

证明：1性质即为正态分布的标准化，3性质由1和2联立代入即可得出ttt分布形式

双正态总体的抽样分布

定理：设总体X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu ,{\sigma ^2})X∼N(μ,σ2)，Y∼N(μ,σ2)Y \sim N(\mu ,{\sigma ^2})Y∼N(μ,σ2)，(X1,X2,...,Xn1)({X_1},{X_2},...,{X_{{n_1}}})(X1,X2,...,Xn1)与(Y1,Y2,...,Yn2)({Y_1},{Y_2},...,{Y_{{n_2}}})(Y1,Y2,...,Yn2)分别是来自XXX和YYY的样本，样本均值分别为Xˉ\bar XXˉ和Yˉ\bar YYˉ，样本方差分别为S12S_1^2S12和S22S_2^2S22，则有：

Xˉ−Yˉ∼N(μ1−μ2,σ12n1+σ22n2)\bar X - \bar Y \sim N({\mu _1} - {\mu _2},{{\sigma _1^2} \over {{n_1}}} + {{\sigma _2^2} \over {{n_2}}})Xˉ−Yˉ∼N(μ1−μ2,n1σ12+n2σ22)，U=(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)σ12n1+σ22n2∼N(0,1)U = {{(\bar X - \bar Y) - ({\mu _1} - {\mu _2})} \over {\sqrt {{{\sigma _1^2} \over {{n_1}}} + {{\sigma _2^2} \over {{n_2}}}} }} \sim N(0,1)U=n1σ12+n2σ22(Xˉ−Yˉ)−(μ1−μ2)∼N(0,1)
F=S12/σ12S22/σ22∼F(n1−1,n2−1)F = {{S_1^2/\sigma _1^2} \over {S_2^2/\sigma _2^2}} \sim F({n_1} - 1,{n_2} - 1)F=S22/σ22S12/σ12∼F(n1−1,n2−1)

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