可测函数列的几乎一致收敛于几乎处处收敛
定义1: 设f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdotsf(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯是定义在点集EEE上的实值函数。若对于任意ε>0\varepsilon > 0ε>0,存在K∈NK \in \mathbb{N}K∈N,使得对于任意k≥Kk \ge Kk≥K,任意x∈Ex \in Ex∈E,有∣fk(x)−f(x)∣<ε,|f_k(x)-f(x)|<\varepsilon,∣fk(x)−f(x)∣<ε,则称{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}在EEE上一致收敛到fff,记作fk⟹ff_k \Longrightarrow ffk⟹f或fk⟶uff_k \stackrel{\mathrm{u}}{\longrightarrow}ffk⟶uf(其中u\mathrm{u}u表示一致)。
定义2: 若EEE是可测集,若∀δ>0\forall \delta > 0∀δ>0,∃Eδ⊂E\exists E_{\delta} \sub E∃Eδ⊂E,使得m(E\Eδ)<δm(E\backslash E_{\delta})< \deltam(E\Eδ)<δ,在EδE_{\delta}Eδ上fk⟹ff_k \Longrightarrow ffk⟹f,则称{fk(x)}\{f_{k}(x)\}{fk(x)}在EEE上几乎一致收敛到fff,记作fk⟶a.u.ff_k \stackrel{\mathrm{a.u.}}{\longrightarrow}ffk⟶a.u.f(其中a.u.\mathrm{a.u.}a.u.表示几乎一致)。
定义3: 设f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdotsf(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯是定义在点集E⊂RnE \sub \mathbb{R}^nE⊂Rn上的广义实值函数。若存在EEE中点集ZZZ,有m(Z)=0m(Z)=0m(Z)=0,及对每个元素x∈E\Zx \in E \backslash Zx∈E\Z,有limk→∞fk(x)=f(x)\lim\limits_{k \rightarrow \infty}f_k(x)=f(x)k→∞limfk(x)=f(x),则称{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}在EEE上几乎处处收敛于f(x)f(x)f(x),并简记为fk→ff_k \rightarrow ffk→f,a.e.[E]\mathrm{a.e.}[E]a.e.[E]或fk⟶a.e.ff_k \stackrel{\mathrm{a.e.}}{\longrightarrow} ffk⟶a.e.f。
定理1(叶戈罗夫定理): 设f(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯f(x),f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x),\cdotsf(x),f1(x),f2(x),⋯,fk(x),⋯是可测集EEE上 几乎处处有限的可测集,并且m(E)<∞m(E)< \inftym(E)<∞,若fk⟶ff_k \longrightarrow ffk⟶f,a.e.[E]\mathrm{a.e.}[E]a.e.[E],则{fk(x)}\{f_k(x)\}{fk(x)}几乎一致收敛于f(x)f(x)f(x)。
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