2022苏州市小学信息学奥赛T2-汉诺塔

题目描述

汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从上往下按照从小到小大顺序摞着 64 片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从上面开始按从小到大顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。下图是圆盘个数 n=3 时的汉诺塔，这三根柱子从左向右依次编号为 A,B,C，开始 3 个圆盘都是在 A 柱上，从上往下依次编号为 1,2,3。最后目标是把这三个圆盘都移动到 C 柱，我们知道最少移动步数是 7步。

第 1 步：1 号圆盘从 A 移动到 C

第 2 步：2 号圆盘从 A 移动到 B

第 3 步：1 号圆盘从 C 移动到 B

第 4 步：3 号圆盘从 A 移动到 C

第 5 步：1 号圆盘从 B 移动到 A

第 6 步：2 号圆盘从 B 移动到 C

第 7 步：1 号圆盘从 A 移动到 C 更一般的，如果是 n 个圆盘，最少移动步数是 2^n2
n
-1。现在你的任务是：告诉你圆盘数 n（这些盘初始都在 A 柱上，而且从上往下编号 1 到 n），问你把这 n 个圆盘移动到 C 柱上，在最少步数移动过程中第 x 步移动的圆盘的编号，以及它从哪个柱子移动到哪个柱子？

输入

总共两行，第一行 1 个整数 n。第二行 1 个整数 x。

输出

总共两行，第一行 1 个整数，表示第 x 步移动圆盘的编号。第二行两个字母，中间有一个空格，表示第 x 步是从第一个字母的柱字移到第二个字母的柱子

样例

样例1
输入

3
6

输出

2
B C

样例2
输入

45 12345678910

输出

2
C A

提示
对于 20%的数据：1≤n≤16；对于 50%的数据：1≤n≤32；对于 100%的数据：1≤n≤64，1≤x≤2^n -1

题解

这道题先看数据量就知道肯定要用高精度，并且不能用普通方法，要找规律（至于为什么这样说后面我会说的）

朴素方法

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,sum=0;
char a,b,c;
void f(int n,char a,char c,char b)
{if(n>0){f(n-1,a,b,c);sum++;if(sum==m){printf("%d\n",n);printf("%c %c",a,c);}f(n-1,b,c,a);}
}
int main()
{cin>>n;cin>>m;a='A';b='B';c='C';f(n,a,c,b);
}

long long的长度为2^32-1 跟题目的2^64-1相差甚远，所以内存就会炸。因为它是递归，又因为数据量太大所以还会超时

AC方法

既然要找规律，那么我们就先写一个打表的代码

#include<bits/stdc++.h>
#include<windows.h>
using namespace std;
long long n,sum=0;
char a,b,c;
void f(long long n,char a,char c,char b)
{if(n>0){f(n-1,a,b,c);sum++;cout<<"第"<<sum<<"步"<<" "<<n<<"  "<<a<<c<<"    ";if(sum%3==0){cout<<endl;}f(n-1,b,c,a);}
}
int main()
{cin>>n;a='A';b='B';c='C';f(n,a,c,b);
}

以下为打表出来的结果

由这两幅图我们不难发现数字与字母的规律

数字规律

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{long long n,m;cin>>n>>m;if(m%2==1)cout<<1<<endl;else{long long k=1;long long p=m;while(p%2==0&&p!=0){p/=2;k++;}cout<<k<<endl;}return 0;}

这里并没有用高精度，在源代码上会说明

字母规律

if(n%2==0){if(check1(3)==0){if(temp%2==0){cout<<"C B";return 0;}else{cout<<"B C";return 0;}}elseif(check1(3)==1){if(temp%2==0){cout<<"B A";return 0;}else{cout<<"A B";return 0;}}elseif(check1(3)==2){if(temp%2==0){cout<<"A C";return 0;}else{cout<<"C A";return 0;}}}else{if(check1(3)==0){if(temp%2==0){cout<<"B C";return 0;}else{cout<<"C B";return 0;}}elseif(check1(3)==1){if(temp%2==0){cout<<"C A";return 0;}else{cout<<"A C";return 0;}}elseif(check1(3)==2){if(temp%2==0){cout<<"A B";return 0;}else{cout<<"B A";return 0;}}}

n为圆盘数量，temp储存的是当前移动圆盘的编号，check1为高精度取余函数

有了上述的规律那么我们就可以完成这道题目了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m=0,k=1,num=1;//k为当前移动圆盘的编号
char a[22],e[22];
int b[22],c[22];
long long check(int n)//这里为一个特殊的高精度取余
{long long ans=0;for(int i=num;i<=m;i++)ans=(ans*10+(a[i]-'0'))%n;return ans;
}
long long check1(int x)//普通的高精度取余
{long long sum=0;for(int i=1;i<=m;i++)sum=(sum*10+(e[i]-'0'))%x;return sum;
}
int main()
{cin>>n;while(cin>>a[++m]);//为防止步数为高精度数所以用char数组输入 m--;//为数组的长度 for(int i=1;i<=m;i++)//将数据转换成int形（下面有用） b[i]=a[i]-'0';for(int i=1;i<=m;i++)//用e[i]备份一下 e[i]=a[i];//数字规律 if(a[m]=='1'||a[m]=='3'||a[m]=='5'||a[m]=='7'||a[m]=='9')//由上面的找到的规律可以得到 cout<<1<<endl;else{while(check(2)==0)//根据规律这里的数字要不断变化，所以专门要写一个高精度取余 {//高精度除法 long long f=0;for(int i=num;i<=m;i++){c[i]=(f*10+b[i])/2;f=(f*10+b[i])%2;}long long len=num;while(c[len]==0&&len<m)len++;num=len;//因为数字是不断变化的，所以数组的数要不断后移，因此要用num来储存len for(int i=len;i<=m;i++){a[i]=c[i]+'0';b[i]=c[i];}k++;}cout<<k<<endl;}//字母规律 if(n%2==0){if(check1(3)==0){if(k%2==0){cout<<"C B";return 0;}else{cout<<"B C";return 0;}}elseif(check1(3)==1){if(k%2==0){cout<<"B A";return 0;}else{cout<<"A B";return 0;}}elseif(check1(3)==2){if(k%2==0){cout<<"A C";return 0;}else{cout<<"C A";return 0;}}}else{if(check1(3)==0){if(k%2==0){cout<<"B C";return 0;}else{cout<<"C B";return 0;}}elseif(check1(3)==1){if(k%2==0){cout<<"C A";return 0;}else{cout<<"A C";return 0;}}elseif(check1(3)==2){if(k%2==0){cout<<"A B";return 0;}else{cout<<"B A";return 0;}}}
}